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LATTICES WITH GROUP ACTION

 
Acknowledgements
 
Introduction
 
Automorphism Group and Isometry Testing
      Automorphism Group and Isometry Testing over Fq[t]
 
Lattices from Matrix Groups
      Creation of G-Lattices
      Operations on G-Lattices
      Invariant Forms
      Endomorphisms
      G-invariant Sublattices
      Lattice of Sublattices
            Creating the lattice of sublattices
            Operations on the Lattice of Sublattices
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

 
Automorphism Group and Isometry Testing
      AutomorphismGroup(L) : Lat -> GrpMat
      AutomorphismGroup(L, F) : Lat, [ AlgMatElt ] -> GrpMat
      AutomorphismGroup(F) : [ AlgMatElt ] -> GrpMat
      Example GLat_AutoAction (H31E1)
      Example GLat_AutoStabilizers (H31E2)
      Example GLat_AutoL19 (H31E3)
      IsIsometric(L, M) : Lat, Lat -> BoolElt, AlgMatElt
      IsIsometric(L, F1, M, F()2) : Lat, [ AlgMatElt ], Lat, [ AlgMatElt ] -> BoolElt, AlgMatElt
      IsIsometric(F1, F()2) : [ AlgMatElt ], [ AlgMatElt ] -> BoolElt, AlgMatElt
      Example GLat_Isom (H31E4)

      Automorphism Group and Isometry Testing over Fq[t]
            DominantDiagonalForm(X) : Mtrx[RngUPol] -> Mtrx, Mtrx, GrpMat, FldFin
            Example GLat_DDF-fqt (H31E5)
            AutomorphismGroup(G) : Mtrx[RngUPol] -> GrpMat, FldFin
            IsIsometric(G1, G2) : Mtrx[RngUPol], Mtrx[RngUPol] -> BoolElt, Mtrx, FldFin
            ShortestVectors(G) : Mtrx[RngUPol] -> SeqEnum
            ShortVectors(G, B) : Mtrx[RngUPol], RngIntElt -> SeqEnum

 
Lattices from Matrix Groups

      Creation of G-Lattices
            Lattice(G) : GrpMat -> Lat
            LatticeWithBasis(G, B) : GrpMat, ModMatRngElt -> Lat
            LatticeWithBasis(G, B, M) : GrpMat, ModMatRngElt, AlgMatElt -> Lat
            LatticeWithGram(G, F) : GrpMat, AlgMatElt -> Lat

      Operations on G-Lattices
            IsGLattice(L) : Lat -> GrpMat
            Group(L) : Lat -> GrpMat
            NumberOfActionGenerators(L) : Lat -> RngIntElt
            ActionGenerator(L, i) : Lat, RngIntElt -> GrpMat
            NaturalGroup(L) : Lat -> GrpMat
            NaturalActionGenerator(L, i) : Lat, RngIntElt -> GrpMat

      Invariant Forms
            InvariantForms(L) : Lat -> [ AlgMatElt ]
            InvariantForms(L, n) : Lat, RngIntElt -> [ AlgMatElt ]
            SymmetricForms(L) : Lat -> [ AlgMatElt ]
            SymmetricForms(L, n) : Lat, RngIntElt -> [ AlgMatElt ]
            AntisymmetricForms(L) : Lat -> [ AlgMatElt ]
            AntisymmetricForms(L, n) : Lat, RngIntElt -> [ AlgMatElt ]
            NumberOfInvariantForms(L) : Lat -> RngIntElt, RngIntElt
            NumberOfSymmetricForms(L) : Lat -> RngIntElt
            NumberOfAntisymmetricForms(L) : Lat -> RngIntElt
            PositiveDefiniteForm(L) : Lat -> AlgMatElt

      Endomorphisms
            EndomorphismRing(L) : Lat -> AlgMat
            Endomorphisms(L, n) : Lat, RngIntElt -> [ AlgMatElt ]
            DimensionOfEndomorphismRing(L) : Lat -> RngIntElt
            CentreOfEndomorphismRing(L) : Lat -> AlgMat
            CentralEndomorphisms(L, n) : Lat, RngIntElt -> [ AlgMatElt ]
            DimensionOfCentreOfEndomorphismRing(L) : Lat -> RngIntElt

      G-invariant Sublattices
            Sublattices(G, Q) : GrpMat, [ RngIntElt ] -> [ Lat ], BoolElt
            Sublattices(G, p) : GrpMat, RngIntElt -> [ Lat ], BoolElt
            Sublattices(G) : GrpMat -> [ Lat ], BoolElt
            SublatticeClasses(G) : GrpMat -> [ Lat ]
            Example GLat_Sublattices (H31E6)
            Example GLat_Sublattices2 (H31E7)

      Lattice of Sublattices

            Creating the lattice of sublattices
                  SublatticeLattice(G, Q) : GrpMat, [ RngIntElt ] -> LatLat, BoolElt
                  SublatticeLattice(G, p) : GrpMat, RngIntElt -> LatLat, BoolElt
                  SublatticeLattice(G) : GrpMat, RngIntElt -> LatLat, BoolElt
                  Example GLat_SublatticeLatticeCreate (H31E8)

            Operations on the Lattice of Sublattices
                  # V : LatLat -> RngIntElt
                  V ! i: LatLat, RngIntElt -> LatLatElt
                  V ! M: LatLat, Lat -> LatLatElt
                  NumberOfLevels( V ) : LatLat -> RngIntElt
                  Level(V, i) : LatLat, RngIntElt -> [ LatLatElt ]
                  Levels(v) : LatLat -> [ [LatLatElt] ]
                  Primes(V) : LatLat -> [ RngIntElt ]
                  Constituents(V) : LatLat -> SeqEnum
                  IntegerRing() ! e : RngInt, LatLatElt -> RngIntElt
                  e + f : LatLatElt, LatLatElt -> LatLatElt
                  e meet f : LatLatElt, LatLatElt -> LatLatElt
                  e eq f : LatLatElt, LatLatElt -> BoolElt
                  MaximalSublattices(e) : LatLatElt -> [ LatLatElt ], [ RngIntElt ]
                  MinimalSuperlattices(e) : LatLatElt -> [ LatLatElt ] , [ RngIntElt ]
                  Lattice(e) : SubModLatElt -> Lat
                  BasisMatrix(e) : SubModLatElt -> Mtrx
                  Example GLat_SublatticeLattice (H31E9)
                  Example GLat_SublatticeLattice2 (H31E10)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013