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BRAID GROUPS

 
Acknowledgements
 
Introduction
      Lattice Structure and Simple Elements
      Representing Elements of a Braid Group
            Automatic Conversions
            Default Presentations
            Representation Used for Group Operations
            Printing of Elements
      Normal Form for Elements of a Braid Group
      Mixed Canonical Form and Lattice Operations
      Conjugacy Testing and Conjugacy Search
            Definition of the Class Invariants
            Computing the Class Invariants
            Conjugacy Testing and Conjugacy Search
 
Constructing and Accessing Braid Groups
 
Creating Elements of a Braid Group
 
Working with Elements of a Braid Group
      Accessing Information
      Computing Normal Forms of Elements
      Arithmetic Operators and Functions for Elements
      Boolean Predicates for Elements
      Lattice Operations
      Invariants of Conjugacy Classes
            Computing Class Invariants Interactively
            Computing Minimal Simple Elements
 
Homomorphisms
      General Remarks
      Constructing Homomorphisms
      Accessing Homomorphisms
      Representations of Braid Groups
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

      Lattice Structure and Simple Elements

      Representing Elements of a Braid Group

            Automatic Conversions

            Default Presentations

            Representation Used for Group Operations

            Printing of Elements

      Normal Form for Elements of a Braid Group

      Mixed Canonical Form and Lattice Operations

      Conjugacy Testing and Conjugacy Search

            Definition of the Class Invariants

            Computing the Class Invariants

            Conjugacy Testing and Conjugacy Search

 
Constructing and Accessing Braid Groups
      BraidGroup(n: parameters) : RngIntElt -> GrpBrd
      GetPresentation(B) : GrpBrd -> MonStgElt
      SetPresentation(~B, s) : GrpBrd, MonStgElt ->
      GetForceCFP(B) : GrpBrd -> BoolElt
      SetForceCFP(~B, b) : GrpBrd, BoolElt ->
      GetElementPrintFormat(B) : GrpBrd -> MonStgElt
      SetElementPrintFormat(~B, s) : GrpBrd, MonStgElt ->
      NumberOfStrings(B) : GrpBrd -> RngIntElt
      NumberOfGenerators(B) : GrpBrd -> RngIntElt

 
Creating Elements of a Braid Group
      Representative(B) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      Identity(B) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      FundamentalElement(B: parameters) : GrpBrd -> GrpBrdElt
      Generators(B: parameters) : GrpBrd -> [ GrpBrd ]
      B . i : GrpBrd, RngIntElt -> GrpBrdElt
      B . T : GrpBrd, Tup -> GrpBrdElt
      B ! [ i1, ..., ik ] : GrpBrd, [ RngIntElt ] -> GrpBrdElt
      B ! [ T1, ..., Tk ] : GrpBrd, [ Tup ] -> GrpBrdElt
      B p : GrpBrd, GrpPermElt -> GrpBrdElt
      B ! [ p1, ...,pk ]: GrpBrd, [ GrpPermElt ] -> GrpBrdElt
      B T : GrpBrd, Tup -> GrpBrdElt
      IsProductOfParallelDescendingCycles(p) : GrpPermElt -> BoolElt
      Random(B, r, s, m, n: parameters) : GrpBrd, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> GrpBrdElt
      Random(B, m, n: parameters) : GrpBrd, RngIntElt, RngIntElt -> GrpBrdElt
      Example GrpBrd_Constructor (H73E1)

 
Working with Elements of a Braid Group

      Accessing Information
            Parent(u) : GrpBrdElt -> GrpBrd
            # u : GrpBrdElt -> RngIntElt
            CanonicalFactorRepresentation(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup
            WordToSequence(u: parameters) : GrpBrdElt -> SeqEnum
            InducedPermutation(u) : GrpBrdElt -> GrpPermElt
            CanonicalLength(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Infimum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Supremum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitCanonicalLength(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitInfimum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            SuperSummitSupremum(u: parameters) : GrpBrdElt -> RngIntElt
            Example GrpBrd_Access (H73E2)

      Computing Normal Forms of Elements
            LeftNormalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftNormalForm(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            RightNormalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightNormalForm(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            LeftMixedCanonicalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup, Tup
            RightMixedCanonicalForm(u: parameters) : GrpBrdElt -> Tup, Tup
            Example GrpBrd_NormalForm (H73E3)

      Arithmetic Operators and Functions for Elements
            u * v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u *:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            u / v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u /:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            u ^ n : GrpBrdElt, RngIntElt -> GrpBrdElt
            u ^:= n : GrpBrdElt, RngIntElt ->
            u ^ v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            u ^:= v : GrpBrdElt, GrpBrdElt ->
            Inverse(u) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Inverse(~u) : GrpBrdElt ->
            LeftConjugate(u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftConjugate(~u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftDiv(u, v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftDiv(u, ~v) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Cycle(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Cycle(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            Decycle(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            Decycle(~u: parameters) : GrpBrdElt ->
            Example GrpBrd_Arithmetic (H73E4)

      Boolean Predicates for Elements
            u in B : GrpBrdElt, GrpBrd -> BoolElt
            u notin B : GrpBrdElt, GrpBrd -> BoolElt
            IsEmptyWord(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            AreIdentical(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            IsSimple(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            IsSuperSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            IsUltraSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            IsIdentity(u: parameters) : GrpBrdElt -> BoolElt
            u eq v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u ne v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u ≤v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            u ≥v : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt
            IsConjugate(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> BoolElt, GrpBrdElt
            Example GrpBrd_Boolean (H73E5)

      Lattice Operations
            LeftGCD(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightGCD(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftGCD(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            RightGCD(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            LeftLCM(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            RightLCM(u, v: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
            LeftLCM(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            RightLCM(S: parameters) : Setq -> GrpBrdElt
            Example GrpBrd_Boolean (H73E6)

      Invariants of Conjugacy Classes
            PositiveConjugates(u: parameters) : GrpBrdElt -> SetIndx
            SuperSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt, GrpBrdElt
            SuperSummitSet(u: parameters) : GrpBrdElt -> SetIndx
            UltraSummitRepresentative(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdElt, GrpBrdElt
            UltraSummitSet(u: parameters) : GrpBrdElt -> SetIndx
            Example GrpBrd_Conjugates (H73E7)

            Computing Class Invariants Interactively
                  PositiveConjugatesProcess(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdClassProc
                  SuperSummitProcess(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdClassProc
                  UltraSummitProcess(u: parameters) : GrpBrdElt -> GrpBrdClassProc
                  BaseElement(P) : GrpBrdClassProc -> GrpBrdElt
                  # P : GrpBrdClassProc -> RngIntElt
                  Representative(P) : GrpBrdClassProc -> GrpBrdElt
                  IsEmpty(P) : GrpBrdClassProc -> BoolElt
                  Elements(P) : GrpBrdClassProc -> SetIndx
                  u in P : GrpBrdElt, GrpBrdClassProc -> BoolElt, GrpBrdElt
                  u notin P : GrpBrdElt, GrpBrdClassProc -> BoolElt
                  NextElement(~P) : GrpBrdClassProc ->
                  Complete(~P) : GrpBrdClassProc ->
                  Example GrpBrd_ConjugatesProcess (H73E8)

            Computing Minimal Simple Elements
                  MinimalElementConjugatingToPositive(x, s: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
                  MinimalElementConjugatingToSuperSummit(x, s: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
                  MinimalElementConjugatingToUltraSummit(x, s: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
                  Transport(x, s: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
                  Pullback(x, s: parameters) : GrpBrdElt, GrpBrdElt -> GrpBrdElt
                  Example GrpBrd_MinimalSimpleElements (H73E9)

 
Homomorphisms

      General Remarks

      Constructing Homomorphisms
            hom< B -> G | S : parameters > : Struct , Struct -> Map

      Accessing Homomorphisms
            e @ f : GrpBrdElt, Map -> GrpElt
            B @ f : GrpBrd, Map -> Grp
            u @@ f : GrpElt, Map -> GrpBrdElt
            Domain(f) : Map -> Grp
            Codomain(f) : Map -> Grp
            Image(f) : Map -> Grp
            Example GrpBrd_Homomorphisms (H73E10)

      Representations of Braid Groups
            SymmetricRepresentation(B) : GrpBrd -> Map
            BurauRepresentation(B) : GrpBrd -> Map
            BurauRepresentation(B, p) : GrpBrd, RngIntElt -> Map
            Example GrpBrd_Representations (H73E11)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013