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TORIC VARIETIES

 
Acknowledgements
 
Introduction and First Examples
      The Projective Plane as a Toric Variety
      Resolution of a Nonprojective Toric Variety
      The Cox Ring of a Toric Variety
 
Fans in Toric Lattices
      Construction of Fans
      Components of Fans
      Properties of Fans
      Maps of Fans
 
Geometrical Properties of Cones and Polyhedra
 
Toric Varieties
      Constructors for Toric Varieties
      Toric Varieties and Their Fans
      Properties of Toric Varieties
      Affine Patches on Toric Varieties
 
Cox Rings
      The Cox Ring of a Toric Variety
      Cox Rings in Their Own Right
      Recovering a Toric Variety From a Cox Ring
 
Invariant Divisors and Riemann-Roch Spaces
      Divisor Group
      Constructing Invariant Divisors
      Properties of Divisors
      Linear Equivalence of Divisors
      Riemann--Roch Spaces of Invariant Divisors
 
Maps of Toric Varieties
      Maps from Lattice Maps
      Properties of Toric Maps
 
The Geometry of Toric Varieties
      Resolution of Singularities and Linear Systems
      Mori Theory of Toric Varieties
      Decomposition of Toric Morphisms
 
Schemes in Toric Varieties
      Construction of Subschemes
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction and First Examples

      The Projective Plane as a Toric Variety
            Example Toric_toric-example1 (H118E1)

      Resolution of a Nonprojective Toric Variety
            Example Toric_toric-example10 (H118E2)

      The Cox Ring of a Toric Variety
            Example Toric_cox-ring-example (H118E3)

 
Fans in Toric Lattices

      Construction of Fans
            Fan(Q) : [TorCon] -> TorFan
            Fan(R,S) : [TorLatElt],[[RngIntElt]] -> TorFan
            Fan(C) : TorCon -> TorFan
            FanOfAffineSpace(n) : RngIntElt -> TorFac
            FanOfWPS(W) : SeqEnum -> TorFan
            [Future release] FanOfProjectiveSpace(n) : RngIntElt -> TorFac
            FanOfFakeProjectiveSpace(W,Q) : SeqEnum -> TorFan
            ZeroFan(L) : TorLat -> TorFan
            NormalFan(F,C) : TorFan,TorCon -> TorFan,Map
            SpanningFan(P) : TorPol -> TorFan
            DualFan(P) : TorPol -> TorFan
            Example Toric_toric-spanning-fan-example (H118E4)
            Blowup(F,v): TorFan,TorLatElt -> TorFan
            IsInSupport(v,F) : TorLatElt,TorFan -> BoolElt,RngIntElt
            Fan(F1,F2) : TorFan,TorFan -> TorFan
            F eq G : TorFan,TorFan -> BoolElt

      Components of Fans
            Skeleton(F,n) : TorFan,RngIntElt -> TorFan
            C in F : TorCon,TorFan -> BoolElt
            Cones(F) : TorFan -> SeqEnum
            Cones(F,i) : TorFan,RngIntElt -> SeqEnum
            ConesOfCodimension(F,i) : TorFan,RngIntElt -> SeqEnum
            AllCones(F) : TorFan -> SeqEnum
            Cone(F,i) : TorFan,RngIntElt -> TorCon
            Cone(F,S) : TorFan,[RngIntElt] -> TorCon
            SingularCones(F) : TorFan -> SeqEnum,SeqEnum
            Example Toric_toric-singular-cones-example (H118E5)
            ConesOfMaximalDimension(F) : TorFan -> SeqEnum
            ConeIndices(F) : TorFan -> SeqEnum
            ConeIndices(F,C) : TorFan -> SeqEnum
            ConeIntersection(F,C1,C2) : TorFan,TorCon,TorCon -> TorCon
            Face(F,C) : TorFan,TorCon -> TorCon
            DualFaceInDualFan(P,Q) : TorPol,[RngIntElt] -> TorFan
            Rays(F) : TorFan -> SeqEnum
            Ray(F,i) : TorFan,RngIntElt -> TorLatElt
            AllRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            PureRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            PureRayIndices(F) : TorFan -> SeqEnum
            VirtualRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            VirtualRayIndices(F) : TorFan -> SeqEnum

      Properties of Fans
            Ambient(F) : TorFan -> TorLat
            IsComplete(F) : TorFan -> BoolElt
            IsSingular(F) : TorFan -> BoolElt
            IsNonsingular(F) : TorFan -> BoolElt
            IsQFactorial(F) : TorFan -> BoolElt
            IsTerminal(F) : TorFan -> BoolElt
            IsCanonical(F) : TorFan -> BoolElt
            IsGorenstein(F) : TorFan -> BoolElt
            IsQGorenstein(F) : TorFan -> BoolElt

      Maps of Fans
            F @ f : TorFan,Map -> TorFan
            SimplicialSubdivision(F) : TorFan -> TorFan
            Example Toric_toric-simplicial-example (H118E6)
            IsFanMap(F1,F2) : TorFan,TorFan -> BoolElt
            IsFanMap(F1,F2,f) : TorFan,TorFan,Map -> BoolElt
            ResolveFanMap(F1,F2) : TorFan,TorFan -> TorFan

 
Geometrical Properties of Cones and Polyhedra
      IsSingular(C) : TorCon -> BoolElt
      IsNonsingular(C) : TorCon -> BoolElt
      IsSmooth(P) : TorPol -> BoolElt
      IsGorenstein(C) : TorCon -> BoolElt
      IsReflexive(P) : TorPol -> BoolElt
      IsQGorenstein(C) : TorCon -> BoolElt
      GorensteinIndex(C) : TorCon -> RngIntElt,TorLatElt
      GorensteinIndex(P) : TorPol -> RngIntElt
      IsQFactorial(C) : TorCon -> BoolElt
      IsTerminal(C) : TorCon -> BoolElt
      IsCanonical(C) : TorCon -> BoolElt
      IsFano(P) : TorPol -> BoolElt
      Example Toric_toric-terminal-polytope-example (H118E7)

 
Toric Varieties

      Constructors for Toric Varieties
            ToricVariety(k,n) : Fld,RngIntElt -> TorVar
            ToricVariety(k,Z) : Fld,[RngIntElt] -> TorVar
            ToricVariety(k,Z,Q) : Fld,[RngIntElt],[FldRatElt] -> TorVar
            ToricVariety(k,M,v) : Fld,[[RngIntElt]],[RngIntElt] -> TorVar
            Example Toric_toric-cox-example2 (H118E8)
            ToricVariety(k) : Fld -> TorVar
            ProjectiveSpace(k,n) : Fld,RngIntElt -> Prj
            ProjectiveSpace(k,W) : Fld,SeqEnum -> Prj

      Toric Varieties and Their Fans
            ToricVariety(k,F) : Fld,TorFan -> TorVar
            Fan(X) : TorVar -> TorLat
            Rays(X) : TorVar -> SeqEnum
            OneParameterSubgroupsLattice(X) : TorVar -> TorLat
            MonomialLattice(X) : TorVar -> TorLat
            CoxMonomialLattice(X) : TorVar -> TorLat
            DivisorClassLattice(X) : TorVar -> TorLat
            IrrelevantIdeal(X) : TorVar -> SeqEnum
            QuotientGradings(X) : TorVar -> SeqEnum
            NumberOfQuotientGradings(X) : TorVar -> SeqEnum

      Properties of Toric Varieties
            IsSingular(X) : TorVar -> BoolElt
            IsNonsingular(X) : TorVar -> BoolElt
            IsGorenstein(X) : TorVar -> BoolElt
            IsQGorenstein(X) : TorVar -> BoolElt
            IsQFactorial(X) : TorVar -> BoolElt
            IsTerminal(X) : TorVar -> BoolElt
            IsCanonical(X) : TorVar -> BoolElt
            IsComplete(X) : TorVar -> BoolElt
            IsProjective(X) : TorVar -> BoolElt
            IsFano(X) : TorVar -> BoolElt
            IsFakeWeightedProjectiveSpace(X) : TorVar -> BoolElt
            IsWeightedProjectiveSpace(X) : TorVar -> BoolElt

      Affine Patches on Toric Varieties
            ToricAffinePatch(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar,TorMap
            ToricAffinePatch(X,S) : TorVar,[RngIntElt] -> TorVar,TorMap

 
Cox Rings

      The Cox Ring of a Toric Variety
            CoxRing(X) : TorVar -> RngCox
            CoxRing(k,F) : Fld,TorFan -> RngCox
            Example Toric_toric-cox-example1 (H118E9)
            Example Toric_toric-cox-example2 (H118E10)

      Cox Rings in Their Own Right
            CoxRing(R,B,Z,Q) : RngMPol,SeqEnum,SeqEnum,SeqEnum -> RngCox
            C1 eq C2 : RngCox,RngCox -> BoolElt
            BaseRing(C) : RngCox -> Fld
            UnderlyingRing(C) : RngCox -> RngMPol
            Length(C) : RngCox -> RngIntElt
            IrrelevantIdeal(C) : RngCox -> SeqEnum
            IrrelevantComponents(C) : RngCox -> SeqEnum
            IrrelevantGenerators(C) : RngCox -> SeqEnum
            Gradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            NumberOfGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            QuotientGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            NumberOfQuotientGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            C . i : RngCox, RngInt -> RngMPolElt
            AssignNames(~C, S) : RngCox, [MonStgElt] ->
            Name(C,i) : RngCox,RngIntElt -> RngMPolElt

      Recovering a Toric Variety From a Cox Ring
            ToricVariety(C) : RngCox -> TorVar
            Example Toric_toric-from-cox-example (H118E11)
            Fan(C) : RngCox -> TorFan
            CoxMonomialLattice(C) : RngCox -> TorLat
            DivisorClassLattice(C) : RngCox -> TorLat
            MonomialLattice(C) : RngCox -> TorLat
            OneParameterSubgroupsLattice(C) : RngCox -> TorLat
            RayLattice(C) : RngCox -> TorLat
            DivisorClassGroup(C) : RngCox -> TorLat
            RayLatticeMap(C) : RngCox -> Map
            WeilToClassGroupsMap(C) : RngCox -> Map

 
Invariant Divisors and Riemann-Roch Spaces

      Divisor Group
            DivisorGroup(X) : TorVar -> DivTor
            ToricVariety(G) : DivTor -> TorVar
            G1 eq G2 : DivTor,DivTor -> BoolElt
            Divisor(G,S) : DivTor,[RngIntElt] -> DivTorElt
            Divisor(G,i) : DivTor,RngIntElt -> DivTorElt

      Constructing Invariant Divisors
            Divisor(X,S) : TorVar,[RngIntElt] -> DivTorElt
            Divisor(X,i) : TorVar,RngIntElt -> DivTorElt
            Divisor(X,f) : TorVar,RngMPolElt -> DivTorElt
            Divisor(X,m) : TorVar,TorLatElt -> DivTorElt
            ZeroDivisor(X) : TorVar -> DivTorElt
            Representative(X,m) : TorVar,ModEDElt -> DivTorElt
            Representative(X,m) : TorVar,TorLatElt -> DivTorElt
            CanonicalDivisor(X) : TorVar -> DivTorElt
            CanonicalClass(X) : TorVar -> DivTorElt
            Example Toric_toric-kawamata-blowup-example (H118E12)

      Properties of Divisors
            Variety(D) : DivTorElt -> TorVar
            Parent(D) : DivTorElt -> DivTor
            Weil(D) : DivTorElt -> SeqEnum
            Cartier(D) : DivTorElt -> SeqEnum[TorLatElt]
            IsQCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsWeil(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsAmple(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsNef(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsBig(D) : DivTorElt -> BoolElt
            PicardClass(D) : DivTorElt -> TorLatElt
            MovablePart(D) : DivTorElt -> DivTorElt
            Example Toric_toric-movable-example (H118E13)
            ImageFan(D) : DivTorElt -> TorFan
            Proj(D) : DivTorElt -> TorVar, PlcEnum
            RelativeProj(D) : DivTorElt -> TorVar
            IntersectionForm(X,C) : TorVar,TorCon -> TorLatElt

      Linear Equivalence of Divisors
            IsQPrincipal(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsPrincipal(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsLinearlyEquivalentToCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt, DivTorElt
            AreLinearlyEquivalent(D,E) : DivTorElt,DivTorElt -> BoolElt
            DefiningMonomial(D) : DivTorElt -> RngMPolElt
            LatticeElementToMonomial(D,v) : DivTorElt,TorLatElt -> RngMPolElt

      Riemann--Roch Spaces of Invariant Divisors
            RiemannRochPolytope(D) : DivTorElt -> TorPol
            RiemannRochBasis(D) : DivTorElt -> [RngElt]
            RiemannRochDimension(D) : DivTorElt -> RngIntElt
            GradedCone(D) : DivTorElt -> TorCon
            Polyhedron(D) : DivTorElt -> TorPol
            Example Toric_toric-rr-example (H118E14)
            HilbertSeries(D) : DivTor -> FldFunRatUElt
            HilbertPolynomial(D) : DivTor -> [RngUPolElt]
            HilbertCoefficients(D,l) : DivTor,RngIntElt -> [RngIntElt]
            HilbertCoefficient(D,i) : DivTor,RngIntElt -> RngIntElt
            Example Toric_toric-rr-by-hand (H118E15)

 
Maps of Toric Varieties

      Maps from Lattice Maps
            ToricVarietyMap(X,Y,f) : TorVar,TorVar,Map -> TorMap
            Blowup(X,v) : TorVar,TorLatElt -> TorVar,TorMap
            IdentityMap(X) : TorVar -> TorMap

      Properties of Toric Maps
            IsRegular(f) : TorMap -> BoolElt
            IndeterminacyLocus(f) : TorMap -> [Sch]
            Example Toric_toric-simplicial-example (H118E16)

 
The Geometry of Toric Varieties

      Resolution of Singularities and Linear Systems
            Resolution(X) : TorVar -> TorVar,TorMap
            ResolveLinearSystem(D) : DivTorElt -> TorVar

      Mori Theory of Toric Varieties
            MoriCone(X) : TorVar -> TorCon
            NefCone(X) : TorVar -> TorCon
            ExtremalRays(X) : TorVar -> SeqEnum
            ExtremalRayContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar,TorMap
            ExtremalRayContractionDivisor(X,i) : TorVar,RngIntElt -> DivTorElt
            TypeOfContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> MonStgElt
            IsMoriFibreSpace(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            IsDivisiorialContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            IsFlipping(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            Flip(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar
            Flip(D) : DivTorElt -> TorVar
            WeightsOfFlip(X,i) : TorVar,RngIntElt -> SeqEnum
            Example Toric_toric-flipwts-example (H118E17)
            Example Toric_toric-weights-of-flip-example (H118E18)
            MMP(X) : TorVar -> SeqEnum,SeqEnum
            Example Toric_toric-mmp-example1 (H118E19)

      Decomposition of Toric Morphisms
            Example Toric_toric-decomposition-example (H118E20)

 
Schemes in Toric Varieties

      Construction of Subschemes
            Scheme(X,f) : TorVar,RngMPolElt -> Sch
            Scheme(X,Q) : TorVar,[RngMPolElt] -> Sch
            Example Toric_toric-mmp-example1 (H118E21)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013