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REPRESENTATIONS OF LIE GROUPS AND ALGEBRAS

 
Acknowledgements
 
Introduction
      Highest Weight Modules
      Toral Elements
      Other Highest Weight Representations
 
Constructing Weight Multisets
 
Constructing Representations
      Lie Algebras
      Groups of Lie Type
 
Operations on Weight Multisets
      Basic Operations
      Conversion Functions
      Calculating with Representations
 
Operations on Representations
      Lie Algebras
      Groups of Lie Type
 
Other Functions for Representation Decompositions
      Operations Related to the Symmetric Group
      FusionRules
 
Subgroups of Small Rank
 
Subalgebras of su(d)
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

      Highest Weight Modules

      Toral Elements

      Other Highest Weight Representations

 
Constructing Weight Multisets
      TrivialLieRepresentationDecomposition(R) : RootDtm -> LieRepDec
      LieRepresentationDecomposition(R, v) : RootDtm, ModTupRngElt -> LieRepDec
      LieRepresentationDecomposition(R, Wt, Mp) : RootDtm, SeqEnum, SeqEnum -> LieRepDec
      AdjointRepresentationDecomposition(R) : RootDtm -> LieRepDec
      Example LieReps_AdjointRepresentation (H104E1)

 
Constructing Representations

      Lie Algebras
            TrivialRepresentation(L) : AlgLie -> Map
            AdjointRepresentation(L) : AlgLie -> Map
            StandardRepresentation(L) : AlgLie -> Map
            Example LieReps_StandardRepresentation (H104E2)
            HighestWeightRepresentation(L, w) : AlgLie, [ ] -> UserProgram
            Example LieReps_HighestWeight (H104E3)
            HighestWeightModule(L, w) : AlgLie, SeqEnum -> ModTupAlg
            TensorProduct(Q) : SeqEnum -> ModAlg, Map
            SymmetricPower(V, n) : ModAlg, RngIntElt -> ModAlg, Map
            ExteriorPower(V, n) : ModAlg, RngIntElt -> ModAlg, Map
            Example LieReps_LieModules (H104E4)

      Groups of Lie Type
            TrivialRepresentation(G) : GrpLie -> Map
            StandardRepresentation(G) : GrpLie -> Map
            AdjointRepresentation(G) : GrpLie -> Map, AlgLie
            LieAlgebra(G) : GrpLie -> AlgLie, Map
            HighestWeightRepresentation(G, v) : GrpLie, . -> Map
            Example LieReps_StandardRepresentation (H104E5)

 
Operations on Weight Multisets

      Basic Operations
            RootDatum(D) : LieRepDec -> RootDtm
            Weights(D) : LieRepDec -> SeqEnum, SeqEnum
            Multiset(D) : LieRepDec -> SetMulti
            Multiplicity(D, v) : LieRepDec, ModTupRngElt -> RngIntElt
            D eq E : LieRepDec, LieRepDec -> BoolElt
            D + E : LieRepDec, LieRepDec -> BoolElt
            D +:= E : LieRepDec, LieRepDec ->
            AddRepresentation(~D, E, c) : LieRepDec, LieRepDec, RngIntElt ->
            D + v : LieRepDec, ModTupRngElt -> BoolElt
            AddRepresentation(~D, v, c) : LieRepDec, ModTupRngElt, RngIntElt ->
            D +:= v : LieRepDec, ModTupRngElt ->
            D * c : LieRepDec, RngIntElt -> LieRepDec
            D / c : LieRepDec, RngIntElt -> LieRepDec
            D *:= c : LieRepDec, RngIntElt ->
            D /:= c : LieRepDec, RngIntElt ->
            D * E : LieRepDec, LieRepDec -> LieRepDec
            ProductRepresentation(D, E, R) : LieRepDec, LieRepDec, RootDtm -> LieRepDec
            SubWeights(D, Q, S) : LieRepDec, SeqEnum, RootDtm -> LieRepDec
            PermuteWeights(D, pi, S) : LieRepDec, GrpPermElt, RootDtm -> LieRepDec
            Example LieReps_DecompArithmetic (H104E6)

      Conversion Functions
            VirtualDecomposition(C) : LieRepDec -> LieRepDec
            DecomposeCharacter(C) : LieRepDec -> LieRepDec
            DominantCharacter(D) : LieRepDec -> LieRepDec

      Calculating with Representations
            RepresentationDimension(D) : LieRepDec -> RngIntElt
            RepresentationDimension(R, v) : RootDtm, SeqEnum -> RngIntElt
            CasimirValue(R, w) : RootDtm, ModTupRngElt -> FldRatElt
            QuantumDimension(R, w) : RootDtm, ModTupRngElt -> SetMulti
            Example LieReps_QuantumDimension (H104E7)
            Branch(FromGrp, ToGrp, v, M) : RootDtm, RootDtm, ModTupRngElt, AlgMatElt -> LieRepDec
            Branch(ToGrp, D, M) : RootDtm, LieRepDec, AlgMatElt -> LieRepDec
            Collect(R, D, M) : RootDtm, LieRepDec, AlgMatElt -> LieRepDec
            Example LieReps_BranchCollect (H104E8)
            TensorProduct(R, v, w) : RootDtm, ModTupRngElt, ModTupRngElt -> .
            TensorProduct(D, E) : LieRepDec, LieRepDec -> .
            TensorProduct(Q) : [LieRepDec] -> LieRepDec
            TensorPower(R, n, v) : RootDtm, RngIntElt, ModTupRngElt -> LieRepDec
            Example LieReps_TensorPower (H104E9)
            AdamsOperator(R, n, v) : RootDtm, RngIntElt, ModTupRngElt -> LieRepDec
            SymmetricPower(R, n, v) : RootDtm, RngIntElt, ModTupRngElt -> LieRepDec
            AlternatingPower(R, n, v) : RootDtm, RngIntElt, ModTupRngElt -> LieRepDec
            Plethysm(R, lambda, v) : RootDtm, SeqEnum, ModTupRngElt -> LieRepDec
            Spectrum(R, v, t) : RootDtm, ModTupRngElt, SeqEnum -> SeqEnum
            Example LieReps_Spectrum (H104E10)
            Demazure(R, v, w) : RootDtm, ModTupRngElt, GrpPermElt -> LieRepDec
            Demazure(R, v) : RootDtm, ModTupRngElt -> LieRepDec
            Example LieReps_BranchCollect (H104E11)
            LittlewoodRichardsonTensor(p, q) : ModTupRngElt, ModTupRngElt -> SeqEnum, SeqEnum[RngIntElt]
            Example LieReps_LRTensor (H104E12)
            AlternatingDominant(D, w) : LieRepDec, GrpPermElt -> LieRepDec
            AlternatingDominant(D) : LieRepDec, GrpPermElt -> LieRepDec
            Example LieReps_AlternatingDominant (H104E13)
            AlternatingWeylSum(R, v) : RootDtm, ModTupRngElt -> LieRepDec

 
Operations on Representations

      Lie Algebras
            CharacterMultiset(V) : ModAlg -> LieRepDec
            Weights(V) : ModAlg -> SeqEnum, SeqEnum
            Weights(ρ) : Map -> [ModTupRngElt]
            DecompositionMultiset(V) : ModAlg -> LieRepDec
            HighestWeightsAndVectors(V) : ModAlg -> SeqEnum, SeqEnum
            DirectSum(U, V) : ModAlg, ModAlg -> SeqEnum
            DirectSumDecomposition(V) : ModAlg -> SeqEnum
            DirectSum(ρ, τ) : ModAlg, ModAlg -> SeqEnum
            DirectSumDecomposition(ρ) : Map[AlgLie, AlgMatLie] -> SeqEnum
            TensorProduct(Q) : SeqEnum -> ModAlg, Map
            SymmetricPower(V, n) : ModAlg, RngIntElt -> ModAlg, Map
            ExteriorPower(V, n) : ModAlg, RngIntElt -> ModAlg, Map
            Example LieReps_LieModules (H104E14)

      Groups of Lie Type
            DirectSum(ρ, τ) : ModAlg, ModAlg -> SeqEnum
            DirectSumDecomposition(ρ) : Map[GrpLie, GrpMat] -> SeqEnum
            CharacterMultiset(V) : ModAlg -> LieRepDec
            Weights(ρ) : Map -> [LatElt], [ModTupRngElt]
            WeightVectors(ρ) : Map -> [ModTupRngElt]
            Weight(ρ, v) : Map, ModTupRngElt -> LatElt
            DecompositionMultiset(V) : ModAlg -> LieRepDec
            HighestWeights(ρ) : Map -> [LatElt], [ModTupRngElt]
            HighestWeightVectors(ρ) : Map -> [ModTupRngElt]
            GeneralisedRowReduction(ρ) : GrpLie, Map -> Map

 
Other Functions for Representation Decompositions
      FundamentalClosure(R, S) : RootDtm, SetEnum -> SetEnum
      Closure(R, S) : RootDtm, SetEnum -> SetEnum
      RestrictionMatrix(R, Q) : RootDtm, SeqEnum -> AlgMatElt
      RestrictionMatrix(R, S) : RootDtm, RootDtm -> AlgMatElt
      Example LieReps_RestrictionMatrix (H104E15)
      KLPolynomial(x, y) : GrpPermElt, GrpPermElt -> RngUPolElt
      RPolynomial(x, y) : GrpPermElt, GrpPermElt -> RngUPolElt
      Example LieReps_KLPoly_RPoly (H104E16)
      Exponents(R) : RootDtm -> SeqEnum
      Example LieReps_Exponents (H104E17)
      ToLiE(D) : LieRepDec -> MonStgElt
      FromLiE(R, p) : RootDtm, MonStgElt -> LieRepDec
      Example LieReps_ToFromLiEEx (H104E18)

      Operations Related to the Symmetric Group
            ConjugationClassLength(l) : SeqEnum -> RngIntElt
            PartitionToWeight(l) : SeqEnum -> SeqEnum
            WeightToPartition(v) : SeqEnum -> SeqEnum
            TransposePartition(l) : SeqEnum -> SeqEnum

      FusionRules
            WZWFusion(R, v, w, k) : RootDtm, Any, Any, RngIntElt -> SetMulti
            WZWFusion(D, E, k) : LieRepDec, LieRepDec -> LieRepDec
            Example LieReps_WZWFusion (H104E19)

 
Subgroups of Small Rank
      LiEMaximalSubgroups() : -> SeqEnum
      MaximalSubgroups(G) : MonStgElt -> SeqEnum[MonStgElt]
      RestrictionMatrix(G, H) : MonStgElt, MonStgElt -> AlgMatElt
      Example LieReps_SubgroupDB (H104E20)

 
Subalgebras of su(d)
      IrreducibleSimpleSubalgebrasOfSU(N) : RngIntElt -> SeqEnum
      IrreducibleSimpleSubalgebraTreeSU(Q, d) : SeqEnum[SeqEnum[Tup]], RngIntElt -> GrphDir
      PrintTreesSU(Q, F) : SeqEnum[SeqEnum[Tup]], MonStgElt ->
      Example LieReps_SubSU (H104E21)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013