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SCHEMES

 
Acknowledgements
 
Introduction and First Examples
      Ambient Spaces
      Schemes
      Rational Points
      Projective Closure
      Maps
      Linear Systems
      Aside: Types of Schemes
 
Ambients
      Affine and Projective Spaces
      Scrolls and Products
      Functions and Homogeneity on Ambient Spaces
      Prelude to Points
 
Constructing Schemes
 
Different Types of Scheme
 
Basic Attributes of Schemes
      Functions of the Ambient Space
      Functions of the Equations
 
Function Fields and their Elements
 
Rational Points and Point Sets
 
Zero-dimensional Schemes
 
Local Geometry of Schemes
      Point Conditions
      Point Computations
      Analytically Hypersurface Singularities
 
Global Geometry of Schemes
 
Base Change for Schemes
 
Affine Patches and Projective Closure
 
Arithmetic Properties of Schemes and Points
      Height
      Restriction of Scalars
      Local Solubility
      Searching for Points
 
Maps between Schemes
      Creation of Maps
      Basic Attributes
            Trivial Attributes
            Basic Tests
      Maps and Points
      Maps and Schemes
      Maps and Closure
      Automorphisms
            Affine Automorphisms
            Projective Automorphisms
      Scheme Graph Maps
 
Tangent and Secant Varieties and Isomorphic Projections
      Tangent Varieties
      Secant Varieties
      Isomorphic Projection to Subspaces
 
Linear Systems
      Creation of Linear Systems
            Explicit Creation
            Geometrical Restrictions
            Explicit Restrictions
      Basic Algebra of Linear Systems
            Tests for Linear Systems
            Geometrical Properties
            Linear Algebra
      Linear Systems and Maps
 
Divisors
      Divisor Groups
      Creation Of Divisors
      Ideals and Factorisations
      Basic Divisor Predicates
      Arithmetic of Divisors
      Further Divisor Properties
      Riemann-Roch Spaces
 
Isolated Points on Schemes
 
Advanced Examples
      A Pair of Twisted Cubics
      Curves in Space
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction and First Examples

      Ambient Spaces
            Example Scheme_EXAMPLE (H112E1)

      Schemes
            Example Scheme_ex2 (H112E2)

      Rational Points
            Example Scheme_ex3 (H112E3)

      Projective Closure
            Example Scheme_ex4 (H112E4)

      Maps
            Example Scheme_ex5 (H112E5)

      Linear Systems
            Example Scheme_ex6 (H112E6)

      Aside: Types of Schemes

 
Ambients

      Affine and Projective Spaces
            AffineSpace(k,n) : Rng,RngIntElt -> Aff
            ProjectiveSpace(k,n) : Rng,RngIntElt -> Prj
            AffineSpace(R) : RngMPol -> Aff
            ProjectiveSpace(R) : RngMPol -> Prj
            AssignNames(~A,N) : Sch,[MonStgElt] ->
            A . i : Sch,RngIntElt -> RngMPolElt
            Example Scheme_affine-space-names (H112E7)
            A eq B : Sch,Sch -> BoolElt

      Scrolls and Products
            DirectProduct(A,B) : Sch,Sch -> Sch,SeqEnum
            RuledSurface(k,a,b) : Rng,RngIntElt,RngIntElt -> PrjScrl
            RuledSurface(k,n) : Rng,RngIntElt -> PrjScrl
            AbsoluteRationalScroll(k,N) : Rng,SeqEnum -> PrjScrl
            ProductProjectiveSpace(k,N) : Rng,SeqEnum -> PrjScrl
            SegreProduct(Xs) : SeqEnum[Sch] -> Sch, SeqEnum
            SegreEmbedding(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
            Example Scheme_sch:segre-embedding (H112E8)

      Functions and Homogeneity on Ambient Spaces
            CoordinateRing(A) : Sch -> Rng
            FunctionField(A) : Sch -> FldFunFracSch
            Gradings(X) : Sch -> SeqEnum
            NumberOfGradings(X) : Sch -> RngIntElt
            NumberOfCoordinates(X) : Sch -> RngIntElt
            Lengths(X) : Sch -> [RngIntElt]
            IsHomogeneous(X,f) : Sch,RngMPolElt -> BoolElt
            Multidegree(X,f) : Sch,RngMPolElt -> SeqEnum

      Prelude to Points
            A ! [a,b,...] : Sch,[RngElt] -> Pt
            Example Scheme_schemes-points-example1 (H112E9)
            Origin(A) : Aff -> Pt
            Simplex(A) : Prj -> SeqEnum
            Coordinates(p) : Pt -> SeqEnum
            p[i] : Pt, RngIntElt -> RngElt
            p @ f : Pt, FldFunFracSchElt -> RngElt
            Example Scheme_evaluate-funfld-example (H112E10)

 
Constructing Schemes
      Scheme(X,f) : Sch,RngMPolElt -> Sch
      Cluster(X,f) : Sch,RngMPolElt -> Clstr
      Example Scheme_schemes-creation (H112E11)
      Spec(R) : RngMPolRes -> Sch,Aff
      Proj(R) : RngMPolRes -> Sch,Prj
      EmptyScheme(X) : Sch -> Sch
      X meet Y : Sch,Sch -> Sch
      X join Y : Sch,Sch -> Sch
      & join S : [Sch] -> Sch
      Difference(X, Y) : Sch, Sch -> Sch
      RemoveLinearRelations(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
      BlowUp(X,Y) : Sch, Sch -> Sch, MapSch
      Example Scheme_remove (H112E12)
      Saturate(~X) : Sch ->
      AssignNames(~X,N) : Sch,SeqEnum ->
      X . i : Sch,RngIntElt -> RngMPolElt

 
Different Types of Scheme
      IsAffine(X) : Sch -> BoolElt
      IsProjective(X) : Sch -> BoolElt
      IsOrdinaryProjectiveSpace(X) : Sch -> BoolElt
      IsAmbient(X) : Sch -> BoolElt
      IsCluster(X) : Sch -> BoolElt,Clstr
      IsCurve(X) : Sch -> BoolElt,Crv
      IsPlaneCurve(X) : Sch -> BoolElt, CrvPln
      IsConic(X) : Sch -> BoolElt,CrvCon
      IsRationalCurve(X) : Sch -> BoolElt,CrvRat
      IsHyperellipticCurve(X) : Sch -> BoolElt,CrvHyp
      IsModularCurve(X) : Sch -> BoolElt

 
Basic Attributes of Schemes

      Functions of the Ambient Space
            AmbientSpace(X) : Sch -> Sch
            SuperScheme(X) : Sch -> Sch
            BaseRing(X) : Sch -> Rng
            BaseField(X) : Sch -> Fld
            IsAffine(X) : Sch -> BoolElt
            IsProjective(X) : Sch -> BoolElt
            IsOrdinaryProjective(X) : Sch -> BoolElt
            IsPlanar(X) : Sch -> BoolElt
            IsSaturated(X) : Sch -> BoolElt

      Functions of the Equations
            DefiningPolynomials(X) : Sch -> SeqEnum
            DefiningPolynomial(X) : Sch -> RngMPolElt
            DefiningIdeal(X) : Sch -> RngMPol
            CoordinateRing(X) : Sch -> RngMPol
            Curve(X) : Sch -> Crv
            GroebnerBasis(X) : Sch -> SeqEnum
            MinimalBasis(X) : Sch -> [ RngMPolElt ]
            IsHypersurface(X) : Sch -> BoolElt, RngMPolElt
            JacobianIdeal(X) : Sch -> RngMPol
            JacobianMatrix(X) : Sch -> ModMatRngElt
            HessianMatrix(X) : Sch -> ModMatRngElt
            X eq Y : Sch,Sch -> BoolElt
            IsSubscheme(X, Y) : Sch,Sch -> BoolElt
            IsLinear(X) : Sch -> BoolElt
            Example Scheme_scheme-equality (H112E13)

 
Function Fields and their Elements
      Scheme(F) : FldFunFracSch -> Sch
      IntegerRing(F) : RngFrac -> Rng
      AssignNames(~F, S) : RngFrac, [MonStgElt] ->
      F ! g : FldFunFracSch, RngElt -> FldFunFracSchElt
      F . i : FldFunFracSch, RngIntElt -> FldFunFracSchElt
      ProjectiveFunction(f) : FldFunFracSchElt -> FldFracElt
      ProjectiveRationalFunction(f) : FldFunFracSchElt -> FldFunRatMElt
      RestrictionToPatch(f, Xi) : FldFunFracSchElt, Sch -> FldFracElt
      Numerator(f) : RngFracElt -> RngElt
      IntegralSplit(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> RngMPolElt, RngMPolElt
      Numerator(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> MPolElt
      Denominator(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> MPolElt
      Example Scheme_scheme_fld_fun_elt (H112E14)
      Restriction(f, Y) : FldFunFracSchElt, Sch -> FldFunFracSchElt
      GenericPoint(X) : Sch -> Pt

 
Rational Points and Point Sets
      X(L) : Sch,Rng -> SetPt
      P eq Q : SetPt,SetPt -> BoolElt
      Scheme(P) : SetPt -> Sch
      Curve(P) : SetPt -> Crv
      Ring(P) : SetPt -> Rng
      RingMap(P) : SetPt -> Map
      X ! Q : Sch,SeqEnum -> Pt
      p eq q : Pt,Pt -> BoolElt
      p in X : Pt,Sch -> BoolElt
      Scheme(p) : Pt -> Sch
      Curve(p) : Pt -> Crv
      Q in X : SeqEnum,Sch -> BoolElt
      S subset X : Setq,Sch -> BoolElt
      IsCoercible(X,Q) : Sch,SeqEnum -> BoolElt,Pt
      RationalPoints(X) : Sch -> SetIndx
      RationalPointsByFibration(X) : Sch -> SetIndx
      Random(S) : SetPt -> Pt
      HasNonsingularPoint(X) : Sch -> BoolElt,Pt
      Example Scheme_scheme-points (H112E15)

 
Zero-dimensional Schemes
      Cluster(p) : Pt -> Clstr
      RationalPoints(Z) : Sch -> SetEnum
      PointsOverSplittingField(Z) : Clstr -> SetEnum
      HasPointsOverExtension(X) : Sch -> BoolElt
      Degree(Z) : Clstr -> RngIntElt
      Example Scheme_cluster-degree5 (H112E16)

 
Local Geometry of Schemes

      Point Conditions
            IsSingular(p) : Sch,Pt -> BoolElt
            IsNonsingular(p) : Sch,Pt -> BoolElt
            IsOrdinarySingularity(p) : Sch,Pt -> BoolElt

      Point Computations
            Multiplicity(p) : Sch,Pt -> RngIntElt
            TangentSpace(p) : Sch,Pt -> Sch
            TangentCone(p) : Sch,Pt -> Sch

      Analytically Hypersurface Singularities
            IsHypersurfaceSingularity(p,prec) : Pt, RngIntElt -> BoolElt, RngMPolElt, SeqEnum, Rec
            HypersurfaceSingularityExpandFurther(dat,prec,R): Rec, RngIntElt, RngMPol -> RngMPolElt
            HypersurfaceSingularityExpandFunction(dat,f,prec,R): Rec, FldFunRatMElt, RngIntElt, RngMPol -> RngMPolElt, RngMPolElt
            Example Scheme_an-hyp-sing-ex (H112E17)

 
Global Geometry of Schemes
      Dimension(X) : Sch -> RngIntElt
      Codimension(X) : Sch -> RngIntElt
      Degree(X) : Sch -> RngIntElt
      ArithmeticGenus(X) : Sch -> RngIntElt
      IsEmpty(X) : Sch -> BoolElt
      IsNonsingular(X) : Sch -> BoolElt
      IsSingular(X) : Sch -> BoolElt
      SingularSubscheme(X) : Sch -> Sch
      PrimeComponents(X) : Sch -> SeqEnum
      PrimaryComponents(X) : Sch -> SeqEnum
      ReducedSubscheme(X) : Sch -> Sch, MapSch
      IsIrreducible(X) : Sch -> BoolElt
      IsReduced(X) : Sch -> BoolElt
      IsCohenMacaulay(X) : Sch -> BoolElt
      Example Scheme_schemes-prime-components (H112E18)

 
Base Change for Schemes
      BaseChange(A,K) : Sch,Rng -> Sch
      BaseChange(A,m) : Sch, Map -> Sch
      BaseChange(F,K) : SeqEnum,Rng -> SeqEnum
      BaseChange(X,A) : Sch,Sch -> Sch
      BaseChange(X, n) : Sch, RngIntElt -> Sch
      Example Scheme_base-change-schemes (H112E19)

 
Affine Patches and Projective Closure
      ProjectiveClosure(X) : Sch -> Sch
      AffinePatch(X,i) : Sch,RngIntElt -> Sch
      AffinePatch(X,p) : Sch,Pt -> Sch,Pt
      IsStandardAffinePatch(A) : Aff -> BoolElt, RngIntElt
      NumberOfAffinePatches(X) : Sch -> BoolElt
      HasAffinePatch(X, i) : Sch, RngIntElt -> BoolElt
      Example Scheme_projective-closure (H112E20)
      Example Scheme_projective-closure-incorrect (H112E21)
      HyperplaneAtInfinity(X) : Sch -> Sch
      ProjectiveClosureMap(A) : Aff -> MapSch
      AffineDecomposition(P) : Prj -> [MapSch],Pt
      CentredAffinePatch(S, p) : Sch, Pt -> Sch, MapSch

 
Arithmetic Properties of Schemes and Points

      Height
            HeightOnAmbient(P) : Pt -> FldReElt

      Restriction of Scalars
            RestrictionOfScalars(S, F) : Sch, Fld -> Sch, MapSch, UserProgram, Map

      Local Solubility
            IsEmpty(Xm) : SetPt -> BoolElt, Pt
            Example Scheme_anf1 (H112E22)
            Example Scheme_anf2 (H112E23)
            IsLocallySolvable(X, p) : Sch, RngOrdIdl -> BoolElt, Pt
            Example Scheme_anf-local-solv (H112E24)
            LiftPoint(P, n) : Pt, RngIntElt -> Pt
            Example Scheme_anf_lift (H112E25)

      Searching for Points
            PointSearch(S,H : parameters) : Sch[FldRat], RngIntElt -> SeqEnum
            Example Scheme_point-count (H112E26)

 
Maps between Schemes

      Creation of Maps
            map< X -> Y | F > : Sch,Sch,SeqEnum -> MapSch
            iso< X -> Y | F, G > : Sch,Sch,SeqEnum,SeqEnum -> MapAutSch
            Example Scheme_map-creation (H112E27)
            Example Scheme_map-fnfld (H112E28)
            Example Scheme_map-frobenius (H112E29)
            IdentityMap(X) : Sch -> MapSch
            ConstantMap(X,Y,p) : Sch,Sch,Pt -> MapSch
            Projection(X,Y) : Prj,Prj -> MapSch
            Projection(X, Q) : Sch, Prj -> Sch, MapSch
            ProjectionFromNonsingularPoint(X,p) : Sch,Pt -> Sch,MapSch,Sch
            ProjectiveMap(L, Y) : [FldFunFracSchElt], Sch -> MapSch
            ProjectiveMap(f, Y) : FldFunFracSchElt, Sch -> MapSch
            Example Scheme_map-creation-prj (H112E30)
            Elimination(X,V) : Sch,SeqEnum -> Sch
            Inverse(f) : MapSch -> MapSch
            IsInvertible(f) : MapSch -> Bool, MapSch
            HasKnownInverse(f) : MapSch -> Bool
            Example Scheme_map_creation_inv (H112E31)
            g * f : MapSch,MapSch -> MapSch
            Components(f) : Map -> [Map]
            Example Scheme_hom-spaces (H112E32)
            Restriction(f,X,Y) : MapSch,Sch,Sch -> MapSch
            Expand(phi) : MapSch -> MapSch
            Extend(phi) : MapSch -> MapSch
            Prune(phi) : MapSch -> MapSch
            Normalization(phi) : MapSch -> MapSch
            Example Scheme_map_creation-comp_alt (H112E33)

      Basic Attributes

            Trivial Attributes
                  Domain(f) : MapSch -> Sch
                  Codomain(f) : MapSch -> Sch
                  DefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  FactoredDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  InverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  FactoredInverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AllDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AllInverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AlgebraMap(f) : MapSch -> Map
                  FunctionDegree(f) : MapSch -> RngIntElt

            Basic Tests
                  f eq g : MapSch, MapSch -> BoolElt
                  IsRegular(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsIsomorphism(f) : MapSch -> BoolElt, IsoSch
                  IsDominant(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsLinear(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsAffineLinear(f) : MapSch -> BoolElt

      Maps and Points
            f(p) : MapSch,Pt -> Pt
            Pullback(f, p) : MapSch, Pt -> Any
            p @@ f : Pt,MapSch -> Any
            f(K) : MapSch,Rng -> Map
            Example Scheme_maps-point-image (H112E34)

      Maps and Schemes
            Pullback(f, X) : MapSch, Sch -> Sch
            Image(f) : MapSch -> Sch
            Image(f,X,d) : MapSch,Sch,RngIntElt -> []
            Example Scheme_map-image1 (H112E35)
            Example Scheme_map-image2 (H112E36)
            BaseScheme(f) : MapSch -> Sch
            BasePoints(f) : MapSch -> SetEnum
            Example Scheme_map-base-points (H112E37)
            Example Scheme_scroll-map-base-points (H112E38)

      Maps and Closure
            ProjectiveClosure(f) : MapSch -> MapSch
            MakeProjectiveClosureMap(A, P, S) : Aff,Prj,SeqEnum ->
            RestrictionToPatch(f,j) : MapSch,RngIntElt -> MapSch
            RestrictionToPatch(f,i,j) : MapSch,RngIntElt,RngIntElt -> MapSch
            Example Scheme_map-patches (H112E39)

      Automorphisms
            Automorphism(X,F) : Sch,SeqEnum -> MapAutSch
            IdentityAutomorphism(X) : Sch -> MapAutSch
            IsEndomorphism(f) : MapSch -> BoolElt
            IsAutomorphism(f) : MapSch -> BoolElt,AutSch
            Example Scheme_automorphism-construction (H112E40)
            Example Scheme_aut-aff-jac (H112E41)

            Affine Automorphisms
                  Automorphism(A,F) : Sch,SeqEnum -> MapSch
                  Automorphism(A,M) : Sch,Mtrx -> MapIsoSch
                  Translation(A,p) : Sch, Pt -> MapSch
                  PermutationAutomorphism(A, g) : Sch,GrpPermElt -> MapIsoSch
                  Example Scheme_aut-aff-perm (H112E42)
                  Automorphism(A,p) : Sch, RngMPolElt -> IsoSch
                  AffineDecomposition(f) : MapSch -> MapSch,MapSch
                  Example Scheme_decompose-automorphism (H112E43)
                  NagataAutomorphism(A) : Aff -> MapSch
                  Projectivity(A,M) : Aff,Mtrx -> MapAutSch
                  Example Scheme_projectivity (H112E44)

            Projective Automorphisms
                  Automorphism(P,F) : Prj, SeqEnum -> MapSch
                  Matrix(f) : MapSch -> Mtrx
                  Automorphism(P,M) : Sch,Mtrx -> MapSch
                  Aut(P) : Prj -> PowAutSch
                  AutomorphismGroup(P) : Prj -> GrpMat,Map
                  Example Scheme_projective-automorphism-group (H112E45)
                  TranslationOfSimplex(P,Q) : Prj, [Pt] -> MapSch
                  Translation(P,Q) : Prj, [Pt] -> MapSch
                  Translation(P,p,q) : Prj, Pt, Pt -> MapSch
                  Translation(X,p) : Sch, Pt -> MapSch
                  Example Scheme_translation (H112E46)
                  QuadraticTransformation(P) : Prj -> MapSch
                  QuadraticTransformation(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
                  Example Scheme_cremona-factorisation (H112E47)

      Scheme Graph Maps
            SchemeGraphMap(X, Y, I) : Sch, Sch, RngMPol -> MapSchGrph
            SchemeGraphMapToSchemeMap(f) : MapSchGrph -> MapSch
            IsInvertible(f) : MapSchGrph -> BoolElt, MapSchGrph
            Example Scheme_graph_maps (H112E48)

 
Tangent and Secant Varieties and Isomorphic Projections

      Tangent Varieties
            TangentVariety(X) : Sch -> Sch
            IsInTangentVariety(X,P) : Sch,Pt -> BoolElt
            Example Scheme_TangentVariety (H112E49)

      Secant Varieties
            SecantVariety(X) : Sch -> Sch
            IsInSecantVariety(X,P) : Sch,Pt -> BoolElt
            Example Scheme_SecantVariety (H112E50)

      Isomorphic Projection to Subspaces
            IsomorphicProjectionToSubspace(X) : Sch -> Sch, MapSch
            EmbedPlaneCurveInP3(C) : Crv -> Sch, MapSch
            Example Scheme_EmbeddingACurve (H112E51)

 
Linear Systems

      Creation of Linear Systems

            Explicit Creation
                  LinearSystem(P,d) : Sch,RngIntElt -> LinearSys
                  LinearSystem(P, d) : Sch, [RngIntElt] -> LinearSys
                  LinearSystem(P,F) : Sch,SeqEnum[RngMPolElt] -> LinearSys
                  MonomialsOfWeightedDegree(X, D) : Sch, [RngIntElt] -> SetIndx
                  Example Scheme_linsys-construction (H112E52)
                  ImageSystem(f,S,d) : MapSch,Sch,RngIntElt -> LinearSys
                  Example Scheme_image-finder (H112E53)

            Geometrical Restrictions
                  LinearSystem(L,p) : LinearSys,Pt -> LinearSys
                  LinearSystem(L,p,m) : LinearSys,Pt,RngIntElt -> LinearSys
                  Example Scheme_subsystems (H112E54)
                  LinearSystem(L,X) : LinearSys,Sch -> LinearSys
                  LinearSystemTrace(L,X) : LinearSys,Sch -> LinearSys
                  Example Scheme_trace (H112E55)

            Explicit Restrictions
                  LinearSystem(L,F) : LinearSys,SeqEnum -> LinearSys
                  LinearSystem(L,V) : LinearSys,ModTupFld -> LinearSys

      Basic Algebra of Linear Systems

            Tests for Linear Systems
                  Ambient(L) : LinearSys -> Prj
                  L eq K : LinearSys,LinearSys -> BoolElt
                  IsComplete(L) : LinearSys -> BoolElt
                  IsBasePointFree(L) : LinearSys -> BoolElt

            Geometrical Properties
                  Sections(L) : LinearSys -> SeqEnum
                  Random(LS) : LinearSys -> RngMPolElt
                  Degree(L) : LinearSys -> RngIntElt
                  Dimension(L) : LinearSys -> RngIntElt
                  BaseScheme(L) : LinearSys -> SchProj
                  BaseComponent(L) : LinearSys -> SchProj
                  Reduction(L) : LinearSys -> LinearSys
                  Example Scheme_ls-reduction (H112E56)
                  BasePoints(L) : LinearSys -> SeqEnum
                  Multiplicity(L,p) : LinearSys,Pt -> RngIntElt

            Linear Algebra
                  CoefficientSpace(L) : LinearSys -> ModTupFld
                  CoefficientMap(L) : LinearSys -> ModTupFldElt
                  PolynomialMap(L) : LinearSys -> RngMPolElt
                  Complement(L,K) : LinearSys,LinearSys -> LinearSys
                  Complement(L,X) : LinearSys,Sch -> LinearSys
                  Example Scheme_creation-by-subspace (H112E57)
                  L meet K : LinearSys,LinearSys -> LinearSys
                  X in L : Sch,LinearSys -> BoolElt
                  f in L : RngMPolElt,LinearSys -> BoolElt
                  K subset L : LinearSys,LinearSys -> BoolElt

      Linear Systems and Maps
            Pullback(f,L) : MapSch,LinearSys -> LinearSys

 
Divisors

      Divisor Groups
            DivisorGroup(X) : Sch -> DivSch
            Variety(G) : DivSch -> Sch
            G1 eq G2: DivSch, DivSch -> BoolElt

      Creation Of Divisors
            Divisor(X,f) : Sch, FldFunFracSchElt -> DivSchElt
            Divisor(X,Q) : Sch, SeqEnum -> DivSchElt
            HyperplaneSectionDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            ZeroDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            CanonicalDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            SheafToDivisor(S) : ShfCoh -> DivSchElt
            RoundDownDivisor(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            RoundUpDivisor(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            FractionalPart(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            IntegralMultiple(D) : DivSchElt -> DivSchElt,RngIntElt

      Ideals and Factorisations
            Ideal(D) : DivSchElt -> RngMPol
            Support(D) : DivSchElt -> Sch
            IdealOfSupport(D) : DivSchElt -> RngMPol
            SignDecomposition(D) : DivSchElt -> DivSchElt, DivSchElt
            IdealFactorisation(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            CombineIdealFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            ComputeReducedFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            ComputePrimeFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            Multiplicity(D,E) : DivSchElt, DivSchElt -> FldRatElt

      Basic Divisor Predicates
            IsZeroDivisor(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsIntegral(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsEffective(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsPrime(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsFactorisationPrime(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsDivisible(D) : DivSchElt -> BoolElt, RngIntElt

      Arithmetic of Divisors
            D1 + D2 : DivSchElt, DivSchElt -> DivSchElt
            n * D : RngIntElt, DivSchElt -> DivSchElt
            D1 eq D2 : DivSchElt, DivSchElt -> BoolElt

      Further Divisor Properties
            IsCanonical(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsAnticanonical(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsCanonicalWithTwist(D) : DivSchElt -> BoolElt, RngIntElt
            IsPrincipal(D) : DivSchElt -> BoolElt, FldFunFracSchElt
            IsLinearlyEquivalent(D,E) : DivSchElt, DivSchElt -> BoolElt, FldFunFracSchElt
            BaseLocus(D) : DivSchElt -> Sch
            IntersectionNumber(D1,D2) : DivSchElt, DivSchElt-> FldRatElt
            SelfIntersection(D) : DivSchElt -> FldRatElt
            Degree(D) : DivSchElt -> FldRatElt
            IsNef(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsNefAndBig(D) : DivSchElt -> BoolElt
            NegativePrimeDivisors(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            ZariskiDecomposition(D) : DivSchElt -> DivSchElt, DivSchElt

      Riemann-Roch Spaces
            Sheaf(D) : DivSchElt -> ShfCoh
            RiemannRochBasis(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            RiemannRochCoordinates(f,D) : Any, DivSchElt -> BoolElt, SeqEnum
            IsLinearSystemNonEmpty(D) : DivSchElt -> BoolElt, DivSchElt

 
Isolated Points on Schemes
      LinearElimination(S) : Sch -> Map
      IsolatedPointsFinder(S,P) : Sch, SeqEnum -> List
      IsolatedPointsLifter(S,P) : Sch, SeqEnum -> BoolElt, Pt
      IsolatedPointsLiftToMinimalPolynomials(S,P) : Sch, SeqEnum -> BoolElt, SeqEnum
      Example Scheme_ec-large-int-pts (H112E58)
      Example Scheme_halls-conjecture (H112E59)
      Example Scheme_random-linear-scheme (H112E60)
      Example Scheme_mathieu-monodromy (H112E61)

 
Advanced Examples

      A Pair of Twisted Cubics
            Example Scheme_twisted-cubics (H112E62)

      Curves in Space
            Example Scheme_curves-in-space (H112E63)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013