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ALGEBRAIC CURVES

 
Acknowledgements
 
First Examples
      Ambients
      Curves
      Projective Closure
      Points
      Choosing Coordinates
      Function Fields and Divisors
 
Ambient Spaces
 
Algebraic Curves
      Creation
      Base Change
      Basic Attributes
      Basic Invariants
      Random Curves
      Ordinary Plane Curves
 
Local Geometry
      Creation of Points on Curves
      Operations at a Point
      Singularity Analysis
      Resolution of Singularities
      Log Canonical Thresholds
      Local Intersection Theory
 
Global Geometry
      Genus and Singularities
      Projective Closure and Affine Patches
      Special Forms of Curves
 
Maps and Curves
      Elementary Maps
      Maps Induced by Morphisms
 
Automorphism Groups of Curves
      Group Creation Functions
      Automorphisms
      Automorphism Group Operations
      Pullbacks and Pushforwards
      Quotients of Curves
 
Function Fields
      Function Fields
      Representations of the Function Field
      Differentials
            Creation of Differentials
            Operations on Differentials
 
Divisors
      Places
            Sets of Places
            Places
      Divisor Group
      Creation of Divisors
      Arithmetic of Divisors
      Other Operations on Divisors
 
Linear Equivalence of Divisors
      Linear Equivalence and Class Group
      Riemann--Roch Spaces
      Index Calculus
 
Advanced Examples
      Trigonal Curves
      Algebraic Geometric Codes
 
Curves over Global Fields
      Finding Rational Points
      Regular Models of Arithmetic Surfaces
            Creation of Regular Models
            Using Regular Models
      Minimization and Reduction
            Minimization and Reduction for Plane Quartics
 
Minimal Degree Functions and Plane Models
      General Functions and Clifford Index One
      Small Genus Functions
      Small Genus Plane Models
 
Bibliography







DETAILS

 
First Examples

      Ambients

      Curves

      Projective Closure

      Points

      Choosing Coordinates

      Function Fields and Divisors

 
Ambient Spaces
      AffineSpace(k,n) : Rng, RngIntElt -> Aff
      ProjectiveSpace(k,n) : Rng,RngIntElt -> Prj
      DirectProduct(A,B) : Prj,Prj -> PrjProd,SeqEnum
      RuledSurface(k,n) : Rng,RngIntElt -> PrjScrl
      CoordinateRing(A) : Sch -> RngMPol
      FunctionField(A) : Aff -> FldFunFracSch
      A ! [a,...] : Sch,[RngElt] -> Pt
      Origin(A) : Aff -> Pt
      Coordinates(p) : Pt -> SeqEnum
      Example Crv_plane-points (H114E1)

 
Algebraic Curves

      Creation
            Curve(A,f) : Sch, RngMPolElt -> CrvPln
            Curve(A,I) : Sch, RngMPol -> Crv
            Curve(X,S) : Sch, SeqEnum -> Crv
            IsCurve(X) : Sch -> BoolElt,Crv
            Curve(X) : Sch -> Crv
            Line(C,p,q) : CrvPln, Pt,Pt -> CrvPln
            Conic(P,S) : Prj, {Pt} -> Crv
            Union(C,D) : Sch,Sch -> Sch

      Base Change
            BaseChange(C, K) : Sch,Rng -> Sch
            BaseChange(C, m) : Sch,Map -> Sch
            BaseChange(C, A) : Sch,Sch -> Sch
            BaseChange(C, n) : Sch, RngIntElt -> Sch
            Example Crv_curve-base-change (H114E2)

      Basic Attributes
            AmbientSpace(C) : Sch -> Sch
            BaseRing(C) : Sch -> Rng
            DefiningPolynomial(C) : Sch -> RngMPolElt
            DefiningIdeal(C) : Sch -> RngMPol
            CoordinateRing(C) : Sch -> Rng
            Degree(C) : Sch -> RngIntElt
            JacobianIdeal(C) : Sch -> RngMPol
            JacobianMatrix(C) : Sch -> ModMatRngElt
            HessianMatrix(C) : Sch -> Mtrx
            Example Crv_curve-hessian (H114E3)

      Basic Invariants
            IsReduced(C) : Sch -> BoolElt
            IsIrreducible(C) : Sch -> BoolElt
            IsSingular(C) : Sch -> BoolElt
            IsNonsingular(C) : Sch -> BoolElt

      Random Curves
            RandomNodalCurve(d, g, P) : RngIntElt, RngIntElt, Prj -> CrvPln
            IsNodalCurve(C) : Crv-> BoolElt
            RandomOrdinaryPlaneCurve(d, S, P) : RngIntElt, SeqEnum, Prj -> CrvPln, RngMPol
            RandomCurveByGenus(g, K) : RngIntElt, Fld -> Crv
            Example Crv_random-curves (H114E4)

      Ordinary Plane Curves
            HasOnlyOrdinarySingularities(C) : CrvPln -> BoolElt, RngIntElt, RngMPol
            HasOnlyOrdinarySingularitiesMonteCarlo(C) : CrvPln -> BoolElt, RngIntElt
            AdjointIdeal(C) : Crv -> RngMPol
            AdjointIdealForNodalCurve(C) : Crv -> RngMPol
            AdjointLinearSystemFromIdeal(I, d) : RngMPol, RngIntElt -> LinearSys
            CanonicalLinearSystemFromIdeal(I, d) : RngMPol, RngIntElt -> LinearSys
            CanonicalLinearSystem(C) : Crv -> LinearSys
            Example Crv_ordinary-curves (H114E5)

 
Local Geometry

      Creation of Points on Curves
            C ! [a,...] : Crv,[RngElt] -> Pt
            C(L) ! [a,...] : SetPt,[RngElt] -> Pt
            Curve(p) : Pt -> Crv
            Curve(P) : SetPt -> Crv
            Coordinates(p) : Pt -> SeqEnum
            p[i] : Pt, RngIntElt -> RngElt
            p eq q : Pt,Pt -> BoolElt
            FormalPoint(P) : Pt -> Pt

      Operations at a Point
            p in C : Pt,Sch -> BoolElt
            IsNonsingular(p) : Sch,Pt -> BoolElt
            IsSingular(p) : Sch,Pt -> BoolElt
            IsInflectionPoint(p) : Sch,Pt -> BoolElt,RngIntElt
            TangentLine(p) : Pt -> Crv
            TangentCone(p) : Pt -> Sch
            IsTangent(C,D,p) : Sch,Sch,Pt -> BoolElt

      Singularity Analysis
            Multiplicity(p) : Sch,Pt -> RngIntElt
            IsDoublePoint(p) : Pt -> BoolElt
            IsOrdinarySingularity(p) : Sch,Pt -> BoolElt
            IsNode(p) : Pt -> BoolElt
            IsCusp(p) : Crv,Pt -> BoolElt
            IsAnalyticallyIrreducible(p) : CrvPln,Pt -> BoolElt
            Example Crv_curve-iscusp (H114E6)

      Resolution of Singularities
            Blowup(C) : CrvPln -> CrvPln, CrvPln
            Blowup(C,M) : CrvPln,Mtrx -> CrvPln, RngIntElt, RngIntElt
            Example Crv_weighted-blowup (H114E7)

      Log Canonical Thresholds
            LogCanonicalThreshold(C) : Sch -> FldRatElt, BoolElt
            LogCanonicalThresholdAtOrigin(C) : Sch -> FldRatElt
            LogCanonicalThreshold(C, P) : Sch, Pt -> FldRatElt
            LogCanonicalThresholdOverExtension(C) : Sch -> FldRatElt
            Example Crv_lct-projective-plane (H114E8)
            Example Crv_lct-over-ext (H114E9)

      Local Intersection Theory
            IsIntersection(C,D,p) : Sch,Sch,Pt -> BoolElt
            IsTransverse(C,D,p) : Sch,Sch,Pt -> BoolElt
            IntersectionNumber(C,D,p) : Sch,Sch,Pt -> RngIntElt
            IntersectionNumbers(C,D) : CrvPln,CrvPln -> List
            Example Crv_local-intersection-example (H114E10)
            Example Crv_crv:int-nmbrs (H114E11)

 
Global Geometry

      Genus and Singularities
            Genus(C) : Crv -> RngIntElt
            ArithmeticGenus(C) : Crv -> RngIntElt
            NumberOfPunctures(C): CrvPln -> RngIntElt
            SingularPoints(C) : Sch -> SetIndx
            HasSingularPointsOverExtension(C) : Sch -> BoolElt
            Flexes(C) : Sch -> Sch
            C eq D : Sch,Sch -> BoolElt
            IsSubscheme(C,D) : Sch,Sch -> BoolElt
            Example Crv_crv-genus (H114E12)

      Projective Closure and Affine Patches
            ProjectiveClosure(A): Sch -> Sch
            ProjectiveClosure(C) : Sch -> Sch
            Example Crv_proj-cl-commutes (H114E13)
            LineAtInfinity(A) : Aff -> CrvPln
            PointsAtInfinity(C) : Crv -> SetEnum
            AffinePatch(C,i) : Crv,RngIntElt -> SeqEnum
            Example Crv_second-affine-patch (H114E14)

      Special Forms of Curves
            IsEllipticWeierstrass(C) : Crv -> BoolElt
            IsHyperellipticWeierstrass(C) : Crv -> BoolElt
            EllipticCurve(C) : Crv -> CrvEll, MapSch
            IsHyperelliptic(C) : Crv -> BoolElt, CrvHyp, MapSch
            Example Crv_is_hyperelliptic (H114E15)

 
Maps and Curves

      Elementary Maps
            IdentityAutomorphism(A) : Sch -> AutSch
            TranslationToInfinity(C,p) : Crv,Pt -> Crv,AutSch
            Example Crv_translation-to-infinity (H114E16)
            EvaluateByPowerSeries(m, P) : MapSch, Pt -> Pt
            Example Crv_maps-point_pow_eval (H114E17)

      Maps Induced by Morphisms
            Degree(m) : MapSch -> RngIntElt
            RamificationDivisor(m) : MapSch -> DivCrvElt
            Pullback(phi, X) : MapSch, FldFunFracSchElt -> FldFunFracSchElt
            Pushforward(phi, X) : MapSch, FldFunFracSchElt -> FldFunFracSchElt
            Example Crv_map-push-pull (H114E18)

 
Automorphism Groups of Curves

      Group Creation Functions
            AutomorphismGroup(C) : Crv -> GrpAutCrv
            AutomorphismGroup(C,auts) : Crv, SeqEnum -> GrpAutCrv
            Automorphisms(C) : Crv -> SeqEnum
            IsIsomorphic(C, D) : Crv, Crv -> BoolElt,MapSch
            Isomorphisms(C, D) : Crv, Crv -> SeqEnum

      Automorphisms
            A . i : GrpAutCrv, RngIntElt -> GrpAutCrvElt
            Identity(A) : GrpAutCrv -> GrpAutCrvElt
            A ! f : GrpAutCrv, MapSch -> GrpAutCrvElt
            Order(f) : GrpAutCrvElt -> RngIntElt
            Inverse(f) : GrpAutCrvElt -> GrpAutCrvElt
            f * g : GrpAutCrvElt, GrpAutCrvElt -> GrpAutCrvElt
            f ^ n : GrpAutCrvElt, RngIntElt -> GrpAutCrvElt
            g eq h : GrpAutoElt, GrpAutoElt -> BoolElt
            g ne h : GrpAutoElt, GrpAutoElt -> BoolElt
            SchemeMap(f) : GrpAutCrvElt -> MapAutSch

      Automorphism Group Operations
            Curve(A) : GrpAutCrv -> Crv
            Order(A) : GrpAutCrv -> RngIntElt
            FactoredOrder(A) : GrpAutCrv -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
            NumberOfGenerators(A) : GrpAutCrv -> RngIntElt
            Generators(A) : GrpAutCrv -> SeqEnum
            PermutationGroup(A) : GrpAutCrv -> GrpPerm
            PermutationRepresentation(A) : GrpAutCrv -> GrpPerm, Map
            MatrixRepresentation(A) : GrpAutCrv -> Grpmat, Map, SeqEnum
            a in A: GrpAutCrvElt, GrpAutCrv -> BoolElt
            A subset B: GrpAutCrv, GrpAutCrv -> BoolElt

      Pullbacks and Pushforwards
            f(X): GrpAutCrvElt, Pt -> Pt
            X @@ f: FldFunFracSchElt, GrpAutCrvElt -> FldFunFracSchElt
            Example Crv_crv_autos (H114E19)
            Example Crv_crv-iso (H114E20)
            Example Crv_crv-iso (H114E21)

      Quotients of Curves
            CurveQuotient(G): GrpAutCrv -> Crv, MapSch
            Example Crv_crv_quots (H114E22)
            Example Crv_crv_quots (H114E23)

 
Function Fields

      Function Fields
            FunctionField(C) : Crv -> FldFunFracSch
            Curve(F) : FldFunFracSch -> Crv
            F ! r : FldFunFracSch, RngElt -> FldFunFracSchElt
            ProjectiveFunction(f) : FldFunFracSchElt -> RngFunFracElt
            Example Crv_ff-creation-example (H114E24)
            p @ f : Pt, FldFunFracSchElt -> RngElt
            Expand(f, p) : FldFunFracSchElt[Crv], PlcCrvElt -> RngSerElt, FldFunFracSchElt
            Completion(F, p) : FldFunFracSch[Crv], PlcCrvElt -> RngSer, Map
            Degree(f) : FldFunFracSchElt[Crv] -> RngIntElt
            Valuation(f, p) : RngElt, Pt -> RngIntElt
            Valuation(p) : Pt -> Map
            UniformizingParameter(p) : Pt -> FldFunFracSchElt
            Module(S) : [FldFunFracSchElt[Crv]] -> Mod, Map, [ModElt]
            Relations(S) : [FldFunFracSchElt[Crv]] -> ModTupRng
            Genus(C) : Crv -> RngIntElt
            FieldOfGeometricIrreducibility(C) : Crv -> Rng, Map
            IsAbsolutelyIrreducible(C) : Crv -> BoolElt
            DimensionOfFieldOfGeometricIrreducibility(C): Crv -> RngIntElt
            Example Crv_ff-elements-example (H114E25)
            GapNumbers(C) : Crv -> [RngIntElt]
            WronskianOrders(C) : Crv -> [RngIntElt]
            NumberOfPlacesOfDegreeOverExactConstantField(C, m) : Crv[FldFin], RngIntElt -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantField(C) : Crv[FldFin] -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantField(C, m) : Crv[FldFin], RngIntElt -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneECFBound(C) : Crv -> RngIntElt
            DivisorOfDegreeOne(C) : Crv[FldFin] -> DivCrvElt
            SerreBound(C) : Crv[FldFin] -> RngIntElt
            LPolynomial(C) : Crv[FldFin] -> RngUPolElt

      Representations of the Function Field
            AlgorithmicFunctionField(F) : FldFunFracSch -> FldFun, Map
            FunctionFieldPlace(p) : PlcCrvElt -> PlcFunElt

      Differentials

            Creation of Differentials
                  DifferentialSpace(C) : Crv -> DiffCrv
                  SpaceOfDifferentialsFirstKind(C) : Crv -> ModFld, Map
                  BasisOfDifferentialsFirstKind(C) : Crv -> [DiffCrvElt]
                  DifferentialSpace(D) : DivCrvElt -> ModFld,Map
                  DifferentialBasis(D) : DivCrvElt -> [DiffCrvElt]
                  Differential(a) : FldFunFracSchElt -> DiffCrvElt

            Operations on Differentials
                  Identity(S) : DiffCrv -> DiffCrvElt
                  Curve(S) : DiffCrv -> Crv
                  Curve(a) : DiffCrvElt -> Crv
                  S eq T : DiffCrv,DiffCrv -> BoolElt
                  a eq b : DiffCrvElt,DiffCrvElt -> BoolElt
                  a in S : Any,DiffCrv -> BoolElt
                  IsExact(a) : DiffCrvElt -> BoolElt
                  IsZero(a) : DiffCrvElt -> BoolElt
                  Valuation(d, P) : DiffCrvElt, PlcCrvElt -> RngIntElt
                  Residue(d, P): DiffCrvElt, PlcCrvElt -> RngElt
                  Divisor(d) : DiffCrvElt -> DivCrvElt
                  Module(L) : [DiffCrvElt] -> Mod, Map, [ ModElt ]
                  Relations(L) : [DiffCrvElt] -> ModTupFld
                  Cartier(a) : DiffCrvElt -> DiffCrvElt
                  CartierRepresentation(C) : Crv -> AlgMatElt, SeqEnum[DiffCrvElt]
                  Example Crv_curve-differentials (H114E26)

 
Divisors

      Places

            Sets of Places
                  Places(C) : Crv -> PlcCrv
                  Curve(P) : PlcCrv -> Crv
                  P eq Q : PlcCrv, PlcCrv -> BoolElt

            Places
                  Places(C, m) : Crv[FldFin], RngIntElt -> SeqEnum
                  HasPlace(C, m) : Crv[FldFin], RngIntElt -> BoolElt,PlcCrvElt
                  Place(p) : Pt -> PlcCrvElt
                  Places(p) : Pt -> SeqEnum
                  Place(C, I) : Crv, RngMPol -> PlcCrvElt
                  WeierstrassPlaces(C) : Crv -> [PlcCrvElt]
                  Place(Q) : [FldFunFracSchElt] -> PlcCrvElt
                  Ideal(P) : PlcCrvElt -> RngMPol
                  TwoGenerators(P) : PlcCrvElt -> FldFunFracSchElt, FldFunFracSchElt
                  Example Crv_place-equations (H114E27)
                  Zeros(f) : FldFunFracSchElt[Crv] -> SeqEnum[PlcCrvElt]
                  Zeros(C, f) : Crv, RngElt -> [PlcCrvElt]
                  CommonZeros(L) : [FldFunFracSchElt[Crv]] -> [PlcCrvElt]
                  Example Crv_zeros-and-poles (H114E28)
                  Curve(P) : PlcCrvElt -> Crv
                  RepresentativePoint(P) : PlcCrv -> Pt
                  P eq Q : PlcCrvElt, PlcCrvElt -> BoolElt
                  Valuation(f, P) : RngElt, PlcCrvElt -> RngIntElt
                  Valuation(P) : PlcCrvElt -> Map
                  Valuation(a, P) : DiffCrvElt, PlcCrvElt -> RngIntElt
                  Residue(a, P) : DiffCrvElt, PlcCrvElt -> RngElt
                  UniformizingParameter(P) : PlcCrvElt -> FldFunFracSchElt
                  IsWeierstrassPlace(P) : PlcCrvElt -> BoolElt
                  ResidueClassField(P) : PlcCrvElt -> Rng
                  Evaluate(a, P) : FldFunFracSchElt, PlcCrvElt -> RngElt
                  Lift(a, P) : RngElt, PlcCrvElt -> FldFunFracSchElt
                  Degree(P) : PlcCrvElt -> RngIntElt
                  GapNumbers(C, P) : Crv, PlcCrvElt -> [RngIntElt]
                  Parametrization(C, p) : Crv, Pt -> MapSch

      Divisor Group
            DivisorGroup(C) : Crv -> DivCrv
            Curve(Div) : DivCrv -> Crv
            Div1 eq Div2 : DivCrv, DivCrv -> BoolElt

      Creation of Divisors
            DivisorGroup(D) : DivCrvElt -> DivCrv
            Curve(D) : DivCrvElt -> Crv
            Identity(D) : DivCrv -> DivCrvElt
            Div ! p : DivCrv, PlcCrvElt -> DivCrvElt
            Divisor(D, S) : DivCrv, SeqEnum -> DivCrvElt
            Example Crv_divisor-equations (H114E29)
            PrincipalDivisor(C, f) : Crv, RngElt -> DivCrvElt
            Divisor(a) : DiffCrvElt -> DivCrvElt
            Divisor(C, X) : Crv, Sch -> DivCrvElt
            Divisor(C, p, q) : Crv,Pt,Pt -> DivCrvElt
            Divisor(C, I) : Crv, RngMPol -> DivCrvElt
            Decomposition(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            Support(D) : DivCrvElt -> SeqEnum, SeqEnum
            Example Crv_divisor1 (H114E30)
            CanonicalDivisor(C) : Crv -> DivCrvElt
            RamificationDivisor(C) : Crv -> DivCrvElt

      Arithmetic of Divisors
            Quotrem(D, n) : DivCrvElt, RngIntElt -> DivCrvElt, DivCrvElt
            Degree(D) : DivCrvElt -> RngIntElt
            IsEffective(D) : DivCrvElt -> BoolElt
            Numerator(D) : DivCrvElt -> DivCrvElt
            SignDecomposition(D) : DivCrvElt -> DivElt,DivElt
            Example Crv_divisor2 (H114E31)
            D eq E : DivCrvElt, DivCrvElt -> BoolElt
            IsZero(D) : DivCrvElt -> BoolElt
            IsCanonical(D) : DivCrvElt -> BoolElt, DiffCrvElt
            GCD(D1, D2) : DivCrvElt, DivCrvElt -> DivCrvElt
            LCM(D1, D2) : DivCrvElt, DivCrvElt -> DivCrvElt
            Example Crv_canonical_divisor (H114E32)

      Other Operations on Divisors
            Ideal(D) : DivCrvElt -> RngMPol
            Valuation(D,p) : DivCrvElt, Pt -> DivCrvElt
            ComplementaryDivisor(D,p) : DivCrvElt,Pt -> DivCrvElt

 
Linear Equivalence of Divisors

      Linear Equivalence and Class Group
            IsPrincipal(D) : DivCrvElt -> BoolElt, FldFunFracSchElt
            IsLinearlyEquivalent(D1,D2) : DivCrvElt,DivCrvElt -> BoolElt
            IsHypersurfaceDivisor(D) : DivCrvElt -> BoolElt, RngElt, RngIntElt
            Example Crv_is-hyper-surfacr-divisor-example (H114E33)
            ClassGroup(C) : Crv[FldFin] -> GrpAb, Map, Map
            ClassNumber(C) : Crv[FldFin] -> RngIntElt
            GlobalUnitGroup(C) : Crv[FldFin] -> GrpAb, Map
            Example Crv_divisor-class-group-example (H114E34)
            ClassGroupAbelianInvariants(C) : Crv[FldFin] -> [RngIntElt]
            ClassGroupPRank(C) : Crv[FldFin] -> RngIntElt
            HasseWittInvariant(C) : Crv[FldFin] -> RngIntElt

      Riemann--Roch Spaces
            Reduction(D) : DivCrvElt -> DivCrvElt, RngIntElt, DivCrvElt, FldFunFracSchElt
            RiemannRochSpace(D) : DivCrvElt -> ModFld,Map
            Basis(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            ShortBasis(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            Dimension(D) : DivCrvElt -> RngIntElt
            DifferentialSpace(D) : DivCrvElt -> ModFld, Map
            DifferentialBasis(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            IndexOfSpeciality(D) : DivCrvElt -> RngIntElt
            IsSpecial(D) : DivCrvElt -> BoolElt
            GapNumbers(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            GapNumbers(p) : Pt -> SeqEnum
            WeierstrassPlaces(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            WronskianOrders(D) : DivCrvElt -> SeqEnum
            RamificationDivisor(D) : DivCrvElt -> DivCrvElt
            DivisorMap(D) : DivCrvElt -> MapSch
            CanonicalMap(C) : Crv -> MapSch
            CanonicalImage(C, phi) : Crv, MapSch -> Crv, BoolElt
            Example Crv_canonical-map (H114E35)

      Index Calculus
            IndexCalculus(D1, D2, D0, np) : DivCrvElt, DivCrvElt, DivCrvElt, RngIntElt -> RngIntElt
            IndexCalculusMatrix(D1, D2, D0, n, rr) : DivCrvElt, DivCrvElt, DivCrvElt, RngIntElt, RngIntElt -> MtrxSprs, SeqEnum, SeqEnum, DivCrvElt, DivCrvElt, RngIntElt, RngIntElt
            MultiplyDivisor(n, D , D0) : RngIntElt, DivCrvElt, DivCrvElt -> DivCrvElt
            Example Crv_indexcalculus (H114E36)

 
Advanced Examples

      Trigonal Curves
            Example Crv_trigonal-curve (H114E37)

      Algebraic Geometric Codes
            Example Crv_klein-quartic-code (H114E38)

 
Curves over Global Fields

      Finding Rational Points
            PointsCubicModel(C, B : parameters) : Crv, RngIntElt -> SeqEnum
            Example Crv_points-cubic-model (H114E39)

      Regular Models of Arithmetic Surfaces

            Creation of Regular Models
                  RegularModel(C, P) : Crv, Any -> CrvRegModel

            Using Regular Models
                  IntersectionMatrix(M) : CrvRegModel -> Mtrx, SeqEnum
                  ComponentGroup(M) : CrvRegModel -> GrpAb
                  PointOnRegularModel(M, x) : CrvRegModel, Pt -> SeqEnum, SeqEnum, Tup

      Minimization and Reduction
            ReduceCluster(X) : SeqEnum -> SeqEnum, Mtrx, Mtrx
            ReducePlaneCurve(f) : MPolElt -> RngMPolElt, Mtrx

            Minimization and Reduction for Plane Quartics
                  MinimizePlaneQuartic(f,p) : MPolElt, RngIntElt -> RngMPolElt, Mtrx
                  MinimizeReducePlaneQuartic(f) : MPolElt -> RngMPolElt, Mtrx
                  Example Crv_minredplanequartic (H114E40)

 
Minimal Degree Functions and Plane Models

      General Functions and Clifford Index One
            GenusAndCanonicalMap(C) : Crv -> RngIntElt, BoolElt, MapSch
            CliffordIndexOne(C) : Crv -> MapSch
            Example Crv_gon-gen-ex (H114E41)

      Small Genus Functions
            Genus2GonalMap(C) : Crv -> MapSch
            Genus3GonalMap(C) : Crv -> RngIntElt, MapSch
            Genus4GonalMap(C) : Crv -> RngIntElt, MapSch
            Genus5GonalMap(C) : Crv -> RngIntElt, MapSch, Crv, UserProgram
            Genus6GonalMap(C) : Crv -> RngIntElt, RngIntElt, MapSch, MapSch
            Example Crv_gon-sm-gen-ex (H114E42)

      Small Genus Plane Models
            Genus6PlaneCurveModel(C) : Crv -> BoolElt, MapSch
            Genus5PlaneCurveModel(C) : Crv -> BoolElt, MapSch
            Example Crv_gon-pln_mod-ex (H114E43)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Wed Apr 24 15:09:57 EST 2013