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CONVEX POLYTOPES AND POLYHEDRA

 
Acknowledgements
 
Introduction and First Examples
 
Polytopes, Cones and Polyhedra
      Polytopes
      Cones
      Polyhedra
      Arithmetic Operations on Polyhedra
 
Basic Combinatorics of Polytopes and Polyhedra
      Vertices and Inequalities
      Facets and Faces
 
The Combinatorics of Polytopes
      Points in Polytopes
      Ehrhart Theory of Polytopes
      Automorphisms of a Polytope
      Operations on Polytopes
 
Cones and Polyhedra
      Generators of Cones
      Properties of Polyhedra
      Attributes of Polyhedra
      Combinatorics of Polyhedral Complexes
 
Toric Lattices
      Toric Lattices
      Points of Toric Lattices
      Operations on Toric Lattices
      Maps of Toric Lattices
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction and First Examples
      Example Polyhedra_polytope-example (H143E1)
      Example Polyhedra_ (H143E2)

 
Polytopes, Cones and Polyhedra

      Polytopes
            Polytope(Q) : SeqEnum -> TorPol
            RandomPolytope(L,n,k) : TorLat,RngIntElt,RngIntElt -> TorPol
            Polar(P) : TorPol -> TorPol
            CrossPolytope(L) : TorLat -> TorPol
            StandardSimplex(L) : TorLat -> TorPol
            CyclicPolytope(L,n) : TorLat,RngIntElt -> TorPol

      Cones
            Cone(A) : Seq -> TorCon
            Cone(v) : TorLatElt -> TorCon
            ConeWithInequalities(B) : Set -> TorCon
            FullCone(L): TorLat -> TorCon
            PositiveQuadrant(L) : TorLat -> TorCon
            ZeroCone(L): TorLat -> TorCon
            Dual(C): TorCon -> TorCon
            NormalisedCone(P) : TorPol -> TorCon
            ConeInSublattice(C) : TorCon -> TorCon,Map
            ConeQuotientByLinearSubspace(C) : TorCon -> TorCon,Map,Map

      Polyhedra
            Polyhedron(C,H,h) : TorCon,TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            Polyhedron(C) : TorCon -> TorPol
            HalfspaceToPolyhedron(v,h) : TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            HyperplaneToPolyhedron(v,h) : TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            Polyhedron(C,f,v) : TorCon,Map,TorLatElt -> TorPol
            EmptyPolyhedron(L) : TorLat -> TorPol
            ConeToPolyhedron(C) : TorCon -> TorPol
            PolyhedronInSublattice(P) : TorPol -> TorPol,Map,TorLatElt
            FixedSubspaceToPolyhedron(G) : GrpMat -> TorPol
            Example Polyhedra_toric-polyhedron-example (H143E3)

      Arithmetic Operations on Polyhedra
            C eq D : TorCon,TorCon -> BoolElt
            P eq Q : TorPol,TorPol -> BoolElt
            C meet D : TorCon,TorCon -> TorCon
            P meet Q : TorPol,TorPol -> TorPol
            P subset Q : TorPol,TorPol -> BoolElt
            C + D : TorCon,TorCon -> TorCon
            P + C : TorPol,TorCon -> TorPol
            P * Q : TorPol,TorPol -> TorPol
            k * P : FldRatElt,TorPol -> TorPol
            - P : TorPol -> TorPol

 
Basic Combinatorics of Polytopes and Polyhedra

      Vertices and Inequalities
            Vertices(P) : TorPol -> SeqEnum[TorLatElt]
            NumberOfVertices(P) : TorPol -> RngIntElt
            Rays(C) : TorCon -> SeqEnum
            Ray(C,i) : TorCon,RngIntElt -> TorLatElt
            LinearSpanEquations(C) : TorCon -> SeqEnum
            LinearSpanGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            LinearSubspaceGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            Inequalities(C) : TorCon -> SeqEnum
            Example Polyhedra_toric-polytope-inequalities-example (H143E4)

      Facets and Faces
            [Future release] fVector(C) : TorCon -> SeqEnum[RngIntElt]
            [Future release] hVector(C) : TorCon -> SeqEnum[RngIntElt]
            Facets(C) : TorCon -> SeqEnum
            FacetIndices(P) : TorPol -> SeqEnum
            NumberOfFacets(P) : TorPol -> RngIntElt
            Faces(C) : TorCon -> SeqEnum
            FaceIndices(P,i) : TorPol,RngIntElt -> SeqEnum
            Edges(P) : TorPol -> SeqEnum
            EdgeIndices(P) : TorPol -> SeqEnum
            Graph(P) : TorPol -> GrphUnd
            FaceSupportedBy(C,H) : TorCon,TorLatElt -> TorCon
            IsSupportingHyperplane(v,h,P) : TorLatElt,FldRatElt,TorPol -> BoolElt,RngIntElt
            SupportingCone(P,v) : TorPol,TorLatElt -> TorCon

 
The Combinatorics of Polytopes

      Points in Polytopes
            Points(P) : TorPol -> SeqEnum[TorLatElt]
            NumberOfPoints(P) : TorPol -> RngIntElt

      Ehrhart Theory of Polytopes
            EhrhartSeries(P) : TorPol -> FldFunRatUElt
            EhrhartPolynomial(P) : TorPol -> [RngUPolElt]
            EhrhartCoefficients(P,l) : TorPol,RngIntElt -> [RngIntElt]
            EhrhartCoefficient(P,k) : TorPol,RngIntElt -> RngIntElt

      Automorphisms of a Polytope
            AutomorphismGroup(P) : TorPol -> GrpMat
            Example Polyhedra_polytope-automorphism-example (H143E5)

      Operations on Polytopes
            Triangulation(P) : TorPol -> SetEnum
            TriangulationOfBoundary(P) : TorPol -> SetEnum

 
Cones and Polyhedra

      Generators of Cones
            ZGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            RGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            Points(C,H,h) : TorCon,TorLatElt,FldRatElt -> SetEnum
            Example Polyhedra_toric-cone-sublattice-example (H143E6)

      Properties of Polyhedra
            CompactPart(P) : TorPol -> TorPol
            IntegralPart(P) : TorPol -> TorPol
            InfinitePart(P) : TorPol -> TorCon
            IsEmpty(P) : TorPol -> BoolElt
            Example Polyhedra_toric-polar-cone-example (H143E7)
            Example Polyhedra_toric-polyhedron-example (H143E8)
            IsMaximalDimension(C) : TorCon -> BoolElt
            IsStrictlyConvex(C) : TorCon -> BoolElt
            IsSimplicial(C) : TorCon -> BoolElt
            IsSimplex(P) : TorPol -> BoolElt
            IsSimple(P) : TorPol -> BoolElt
            IsAffineLinear(P) : TorPol -> BoolElt
            IsZero(C) : TorCon -> BoolElt

      Attributes of Polyhedra
            Dimension(C) : TorCon -> RngIntElt
            Index(C) : TorCon -> RngIntElt
            IsShellable(P) : TorPol -> BoolElt, TorPol, TorLatElt, RngIntElt

      Combinatorics of Polyhedral Complexes
            Ambient(C) : TorCon -> TorLat
            ChangeAmbient(C,L) : TorCon,TorLat -> TorCon

 
Toric Lattices

      Toric Lattices
            ToricLattice(n) : RngIntElt -> TorLat
            ScalarLattice() : -> TorLat
            Example Polyhedra_empty-toric-lattice-sequence (H143E9)
            Dual(L) : TorLat -> TorLat
            Example Polyhedra_dual-toric-lattice (H143E10)
            L + M : TorLat,TorLat -> TorLat,TorLatMap,TorLatMap,TorLatMap,TorLatMap
            L ^ n : TorLat,RngIntElt -> TorLat,SeqEnum,SeqEnum
            Dimension(L) : TorLat -> RngIntElt

      Points of Toric Lattices
            L ! [a,b,...] : TorLat,[RngIntElt] -> TorLatElt
            L . i : TorLat,RngIntElt -> TorLatElt
            Basis(L) : TorLat -> TorLatElt
            Form(L,Q) : TorLat,[RngIntElt] -> TorLatElt
            Zero(L) : TorLat -> TorLatElt
            P + Q : TorLatElt,TorLatElt -> TorLatElt
            P eq Q : TorLatElt,TorLatElt -> BoolElt
            AreProportional(P,Q) : TorLatElt,TorLatElt -> BoolElt, FldRatElt
            P / Q : TorLatElt,TorLatElt -> FldRatElt
            Example Polyhedra_toric-example-pt (H143E11)
            v in L : TorLatElt,TorLat -> BoolElt
            IsZero(v) : TorLatElt -> BoolElt
            IsIntegral(v) : TorLatElt -> BoolElt
            IsPrimitive(v) : TorLatElt -> BoolElt
            PrimitiveLatticeVector(v) : TorLatElt -> TorLatElt
            Example Polyhedra_toric-primitive-pt (H143E12)

      Operations on Toric Lattices
            L eq K : TorLat,TorLat -> BoolElt
            Sublattice(Q) : [TorLatElt] -> TorLat,TorLatMap
            ToricLattice(Q) : [[RngIntElt]] -> TorLat,TorLatMap
            Quotient(C) : TorCon -> TorLat,TorLatMap
            AddVectorToLattice(v) : TorLatElt -> TorLat,TorLatMap
            IsSublattice(L) : TorLat -> BoolElt
            IsSuperlattice(L) : TorLat -> BoolElt
            IsDirectSum(L) : TorLat -> BoolElt
            IsQuotient(L) : TorLat -> BoolElt
            Sublattice(L) : TorLat -> TorLat,TorLatMap
            Superlattice(L) : TorLat -> TorLat,TorLatMap
            Summands(L) : TorLat -> SeqEnum,SeqEnum,SeqEnum
            Example Polyhedra_toric-example-pt (H143E13)

      Maps of Toric Lattices
            ZeroMap(L,K) : TorLat,TorLat -> TorLatMap
            IdentityMap(L) : TorLat -> TorLatMap
            hom< L -> K | M > : TorLat,TorLat,Mtrx -> TorLatMap
            LatticeMap(L,Q) : TorLat,[TorLatElt] -> TorLatMap
            DefiningMatrix(f) : TorLatMap -> ModMatRngElt
            Image(f,C) : TorLatMap,TorCon -> TorCon
            Preimage(f,C) : TorLatMap,TorCon -> TorCon
            KernelEmbedding(f) : TorLatMap -> Map
            KernelBasis(f) : TorLatMap -> SeqEnum
            ImageBasis(f) : TorLatMap -> SeqEnum
            IsCokernelTorsionFree(f) : TorLatMap -> BoolElt

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Mon Dec 17 14:40:36 EST 2012