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FINITELY PRESENTED GROUPS

 
Acknowledgements
 
Introduction
      Overview of Facilities
      The Construction of Finitely Presented Groups
 
Free Groups and Words
      Construction of a Free Group
      Construction of Words
      Access Functions for Words
      Arithmetic Operators for Words
      Comparison of Words
      Relations
 
Construction of an FP-Group
      The Quotient Group Constructor
      The FP-Group Constructor
      Construction from a Finite Permutation or Matrix Group
      Construction of the Standard Presentation for a Coxeter Group
      Conversion from a Special Form of FP-Group
      Construction of a Standard Group
      Construction of Extensions
      Accessing the Defining Generators and Relations
 
Homomorphisms
      General Remarks
      Construction of Homomorphisms
      Accessing Homomorphisms
      Computing Homomorphisms to Finite Groups
            Computing Homomorphisms to Permutation Groups Interactively
            Finding Homomorphisms onto Simple Groups
      The ( L)2-Quotient Algorithm
      Infinite L2 quotients
      Searching for Isomorphisms
 
Abelian, Nilpotent and Soluble Quotient
      Abelian Quotient
      p-Quotient
      The Construction of a p-Quotient
      Nilpotent Quotient
      Soluble Quotient
 
Subgroups
      Specification of a Subgroup
      Index of a Subgroup: The Todd- Coxeter Algorithm
      Implicit Invocation of the Todd- Coxeter Algorithm
      Constructing a Presentation for a Subgroup
            Introduction
            Rewriting
 
Subgroups of Finite Index
      Low Index Subgroups
      Subgroup Constructions
      Properties of Subgroups
 
Coset Spaces and Tables
      Coset Tables
      Coset Spaces: Construction
      Coset Spaces: Elementary Operations
      Accessing Information
      Double Coset Spaces: Construction
      Coset Spaces: Selection of Cosets
      Coset Spaces: Induced Homomorphism
 
Simplification
      Reducing Generating Sets
      Tietze Transformations
 
Representation Theory
 
Small Group Identification
      Concrete Representations of Small Groups
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

      Overview of Facilities

      The Construction of Finitely Presented Groups

 
Free Groups and Words

      Construction of a Free Group
            FreeGroup(n) : RngIntElt -> GrpFP
            Example GrpFP_1_Free (H70E1)

      Construction of Words
            G ! [ i1, ..., is ] : GrpFP, [ RngIntElt ] -> GrpFPElt
            Identity(G) : GrpFP -> GrpFPElt
            Random(G, m, n) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt -> GrpFPElt

      Access Functions for Words
            # w : GrpFPElt -> RngIntElt
            ElementToSequence(w) : GrpFPElt -> [ RngIntElt ]
            ExponentSum(w, x) : GrpFPElt, GrpFPElt -> RngIntElt
            GeneratorNumber(w) : GrpFPElt -> RngIntElt
            LeadingGenerator(w) : GrpFPElt -> GrpFPElt
            Parent(w) : GrpFPElt -> GrpFP
            Example GrpFP_1_WordAccess (H70E2)

      Arithmetic Operators for Words
            u * v : GrpFPElt, GrpFPElt -> GrpFPElt
            u ^ n : GrpFPElt, RngIntElt -> GrpFPElt
            u ^ v : GrpFPElt, GrpFPElt -> GrpFPElt
            (u, v) : GrpFPElt, GrpFPElt -> GrpFPElt
            (u1, ..., un) : List(GrpFPElt) -> GrpFPElt

      Comparison of Words
            u eq v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            u ne v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            u lt v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            u le v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            u ge v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            u gt v : GrpFPElt, GrpFPElt -> BoolElt
            Example GrpFP_1_Words (H70E3)

      Relations
            w1 = w2 : GrpFPElt, GrpFPElt -> GrpFPRel
            r[1] : RelElt, RngIntElt -> GrpFPElt
            r[2] : RelElt, RngIntElt -> GrpFPElt
            r[1] = w : GrpFPRel, RngIntElt, GrpFPElt -> GrpFPRel
            r[2] = w : GrpFPRel, RngIntElt, GrpFPElt -> GrpFPRel
            f(r) : Hom(GrpFP), GrpFPRel -> GrpFPRel
            Parent(r) : RelElt -> GrpFP
            Example GrpFP_1_Relations (H70E4)

 
Construction of an FP-Group

      The Quotient Group Constructor
            quo< F | R > : GrpFP, List -> GrpFP, Hom(Grp)
            G / H : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            Example GrpFP_1_Symmetric1 (H70E5)
            Example GrpFP_1_Symmetric2 (H70E6)
            Example GrpFP_1_Modular (H70E7)

      The FP-Group Constructor
            Group< X | R > : List(Var), List(GrpFPRel) -> GrpFP, Hom(Grp)
            Example GrpFP_1_Tetrahedral (H70E8)
            Example GrpFP_1_ThreeInvols (H70E9)
            Example GrpFP_1_Coxeter (H70E10)

      Construction from a Finite Permutation or Matrix Group
            FPGroup(G) : GrpPerm -> GrpFP, Hom(Grp)
            FPGroupStrong(G) : GrpPerm -> GrpFP, Hom(Grp)
            FPGroupStrong(G, N) : GrpPerm, GrpPerm -> GrpFP, Hom(Grp)
            Example GrpFP_1_FPGroup1 (H70E11)

      Construction of the Standard Presentation for a Coxeter Group
            CoxeterGroup(GrpFP, W) : Cat, GrpFPCox -> GrpFP, Map
            Example GrpFP_1_FPCoxeterGroups (H70E12)

      Conversion from a Special Form of FP-Group
            FPGroup(G) : GrpPC -> GrpFP, Hom(Grp)
            Example GrpFP_1_FPGroup2 (H70E13)

      Construction of a Standard Group
            AbelianGroup(GrpFP, [n1,...,nr]): Cat, [ RngIntElt ] -> GrpFP
            AlternatingGroup(GrpFP, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFP
            BraidGroup(GrpFP, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFP
            CoxeterGroup(GrpFP, t) : Cat, MonStgElt -> GrpFP
            CyclicGroup(GrpFP, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFP
            DihedralGroup(GrpFP, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFP
            ExtraSpecialGroup(GrpFP, p, n : parameters) : Cat, RngIntElt, RngIntElt -> GrpFP
            SymmetricGroup(GrpFP, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFP
            Example GrpFP_1_StandardGroups (H70E14)

      Construction of Extensions
            Darstellungsgruppe(G) : GrpFP -> GrpFP
            DirectProduct(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            DirectProduct(Q) : [ GrpFP ] -> GrpFP
            FreeProduct(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            FreeProduct(Q) : [ GrpFP ] -> GrpFP
            Example GrpFP_1_ControlExtn (H70E15)
            Example GrpFP_1_DirectProduct (H70E16)

      Accessing the Defining Generators and Relations
            G . i : GrpFP, RngIntElt -> GrpFPElt
            Generators(G) : GrpFP -> { GrpFPElt }
            NumberOfGenerators(G) : GrpFP -> RngIntElt
            PresentationLength(G) : GrpFP -> RngIntElt
            Relations(G) : GrpFP -> [ GrpFPRel ]

 
Homomorphisms

      General Remarks

      Construction of Homomorphisms
            hom< P -> G | S > : Struct , Struct -> Map
            IsSatisfied(U, E) : { RelElt }, [ GrpElt ] -> BoolElt

      Accessing Homomorphisms
            w @ f : GrpFPElt, Map -> GrpElt
            H @ f : GrpFP, Map -> Grp
            g @@ f : GrpElt, Map -> GrpFPElt
            H @@ f : Grp, Map -> GrpFP
            Domain(f) : Map -> Grp
            Codomain(f) : Map -> Grp
            Image(f) : Map -> Grp
            Kernel(f) : Map -> Grp
            Example GrpFP_1_Homomorphism (H70E17)

      Computing Homomorphisms to Finite Groups
            Homomorphisms(F, G, A : parameters) : GrpFP, GrpPerm, GrpPerm -> [ HomGrp ]
            Example GrpFP_1_Homomorphisms1 (H70E18)
            Homomorphisms(F, G, A : parameters) : GrpFP, GrpPC, GrpPC -> [ HomGrp ]

            Computing Homomorphisms to Permutation Groups Interactively
                  HomomorphismsProcess(F, G, A : parameters) : GrpFP, GrpPerm, GrpPerm -> GrpFPHomsProc
                  NextElement(~P) : GrpFPHomsProc ->
                  Complete(~P) : GrpFPHomsProc ->
                  IsEmpty(P) : GrpFPHomsProc -> BoolElt
                  IsValid(P) : GrpFPHomsProc -> BoolElt
                  DefinesHomomorphism(P) : GrpFPHomsProc -> BoolElt
                  Homomorphism(P) : GrpFPHomsProc -> HomGrp
                  # P : GrpFPHomsProc -> RngIntElt
                  Homomorphisms(P) : GrpFPHomsProc -> [ HomGrp ]
                  Example GrpFP_1_Homomorphisms2 (H70E19)
                  Example GrpFP_1_Homomorphisms2-2 (H70E20)

            Finding Homomorphisms onto Simple Groups
                  SimpleQuotients(F, deg1, deg2, ord1, ord2: parameters) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> List
                  SimpleQuotientProcess(F, deg1, deg2, ord1, ord2: parameters) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> Rec
                  NextSimpleQuotient(~P) : Rec ->
                  IsEmptySimpleQuotientProcess(P) : Rec -> BoolElt
                  SimpleEpimorphisms(P) : Rec -> SeqEnum, Tup
                  Example GrpFP_1_SimpleQuotients (H70E21)

      The ( L)2-Quotient Algorithm
            L2Quotients(G) : GrpFP -> SeqEnum[RngMPol]
            L2Type(P) : RngMPol-> MonStgElt
            L2Generators(P) : RngMPol -> GrpMat
            L2Ideals(I) : RngMPol -> SeqEnum[RngMPol]
            Example GrpFP_1_ModularFinite (H70E22)
            Example GrpFP_1_CoxeterFinite (H70E23)
            Example GrpFP_1_Infinite (H70E24)
            Example GrpFP_1_InfinitePositiveChar (H70E25)

      Infinite L2 quotients
            HasInfinitePSL2Quotient(G) :: GrpFP -> BoolElt, SeqEnum
            Example GrpFP_1_fp-gps:inf-psl2-quot (H70E26)

      Searching for Isomorphisms
            SearchForIsomorphism(F, G, m : parameters) : GrpFP, GrpFP, RngIntElt -> BoolElt, HomGrp, HomGrp
            Example GrpFP_1_SearchForIso1 (H70E27)
            Example GrpFP_1_SearchForIso2 (H70E28)

 
Abelian, Nilpotent and Soluble Quotient

      Abelian Quotient
            AbelianQuotient(G) : GrpFP -> GrpAb, Map
            ElementaryAbelianQuotient(G, p) : GrpFP, RngIntElt -> GrpAb, Map
            AbelianQuotientInvariants(G) : GrpFP -> [ RngIntElt ]
            AbelianQuotientInvariants(H) : GrpFP -> [ RngIntElt ]
            AbelianQuotientInvariants(G, n) : GrpFP, RngIntElt -> [ RngIntElt ]
            AbelianQuotientInvariants(H, n) : GrpFP, RngIntElt -> [ RngIntElt ]
            HasComputableAbelianQuotient(G) : GrpFP -> BoolElt, GrpAb, Map
            HasInfiniteComputableAbelianQuotient(G) : GrpFP -> BoolElt, GrpAb, Map
            IsPerfect(G) : GrpFP -> BoolElt
            TorsionFreeRank(G) : GrpFP -> RngIntElt
            Example GrpFP_1_F27 (H70E29)
            Example GrpFP_1_modular-abelian-quotient (H70E30)

      p-Quotient

      The Construction of a p-Quotient
            pQuotient(F, p, c: parameters) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt -> GrpPC, Map, SeqEnum , BoolElt
            Example GrpFP_1_pQuotient1 (H70E31)
            Example GrpFP_1_pQuotient2 (H70E32)
            Example GrpFP_1_pQuotient3 (H70E33)
            Example GrpFP_1_pQuotient4 (H70E34)

      Nilpotent Quotient
            NilpotentQuotient(G, c: parameters) : GrpFP, RngIntElt -> GrpGPC, Map
            Example GrpFP_1_NilpotentQuotient0 (H70E35)
            Example GrpFP_1_NilpotentQuotient1 (H70E36)
            Example GrpFP_1_NilpotentQuotient2 (H70E37)
            SetVerbose("NilpotentQuotient", n) : MonStgElt, RngIntElt ->
            Example GrpFP_1_NilpotentQuotient3 (H70E38)

      Soluble Quotient
            SolvableQuotient(G : parameters): GrpFP, RngIntElt -> GrpPC, Map, SeqEnum, MonStgElt
            Example GrpFP_1_SolubleQuotient1 (H70E39)
            SolvableQuotient(F, n : parameters): GrpFP, RngIntElt -> GrpPC, Map, SeqEnum, MonStgElt
            Example GrpFP_1_SolubleQuotient2 (H70E40)

 
Subgroups

      Specification of a Subgroup
            sub< G | L > : GrpFP, List -> GrpFP
            sub< G | f > : GrpFP, Hom(Grp) -> GrpFP
            ncl< G | L > : GrpFP, List -> GrpFP
            ncl<G | f> : GrpFP, Hom(Grp) -> GrpFP
            CommutatorSubgroup(G) : GrpFP -> GrpFP
            Example GrpFP_1_Subgroups1 (H70E41)
            Example GrpFP_1_Subgroups2 (H70E42)

      Index of a Subgroup: The Todd- Coxeter Algorithm
            ToddCoxeter(G, H: parameters) : GrpFP, GrpFP -> RngIntElt, Map, RngIntElt, RngIntElt
            Index(G, H: parameters) : GrpFP, GrpFP -> RngIntElt
            Example GrpFP_1_Index1 (H70E43)
            Order(G: parameters) : GrpFP -> RngIntElt
            Example GrpFP_1_Order11 (H70E44)
            Example GrpFP_1_HN (H70E45)
            Example GrpFP_1_Family (H70E46)

      Implicit Invocation of the Todd- Coxeter Algorithm
            SetGlobalTCParameters(: parameters) : ->
            UnsetGlobalTCParameters() : ->
            Example GrpFP_1_ImplicitCosetEnumeration (H70E47)

      Constructing a Presentation for a Subgroup

            Introduction

            Rewriting
                  Rewrite(G, H : parameters) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP, Map
                  Rewrite(G, ~H : parameters) : GrpFP, GrpFP ->
                  Example GrpFP_1_Rewrite (H70E48)
                  Example GrpFP_1_Rewrite2 (H70E49)

 
Subgroups of Finite Index

      Low Index Subgroups
            LowIndexSubgroups(G, R : parameters) : GrpFP, RngIntElt -> [ GrpFP ]
            Example GrpFP_1_Lix1 (H70E50)
            Example GrpFP_1_Lix2 (H70E51)
            LowIndexProcess(G, R : parameters) : GrpFP, RngIntElt -> Process(Lix)
            NextSubgroup(~P) : GrpFPLixProc ->
            ExtractGroup(P) : GrpFPLixProc -> GrpFP
            ExtractGenerators(P) : GrpFPLixProc -> { GrpFPElt }
            IsEmpty(P) : GrpFPLixProc -> BoolElt
            IsValid(P) : GrpFPLixProc -> BoolElt
            Example GrpFP_1_Lix3 (H70E52)
            Example GrpFP_1_Lix4 (H70E53)
            Example GrpFP_1_Lix5 (H70E54)
            LowIndexNormalSubgroups(G, n: parameters) : GrpFP, RngIntElt -> [ Rec ]

      Subgroup Constructions
            H ^ u : GrpFP, GrpFPElt -> GrpFP
            H meet K : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            Core(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            GeneratingWords(G, H) : GrpFP, GrpFP -> { GrpFPElt }
            MaximalOvergroup(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            MinimalOvergroup(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            H ^ G : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            Normaliser(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            SchreierGenerators(G, H : parameters) : GrpFP, GrpFP -> { GrpFPElt }
            SchreierSystem(G, H) : GrpFP, GrpFP -> {@ GrpFPElt @}, Map
            Transversal(G, H, K) : GrpFP, GrpFP, GrpFP -> {@ GrpFPElt @}, Map
            Example GrpFP_1_SubgroupConstructions (H70E55)
            Example GrpFP_1_SchreierGenerators (H70E56)

      Properties of Subgroups
            u ∈H : GrpFPElt, GrpFP -> BoolElt
            u ∉H : GrpFPElt, GrpFP -> BoolElt
            H eq K : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            H ≠K : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            H ⊂K : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            H notsubset K : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            IsConjugate(G, H, K) : GrpFP, GrpFP, GrpFP -> BoolElt, GrpFPElt
            IsNormal(G, H) : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            IsMaximal(G, H) : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            IsSelfNormalizing(G, H) : GrpFP, GrpFP -> BoolElt
            Example GrpFP_1_SubgroupOps (H70E57)
            Example GrpFP_1_BuildSubgroups (H70E58)

 
Coset Spaces and Tables

      Coset Tables
            CosetTable(G, H: parameters) : GrpFP, GrpFP -> Map
            CosetTableToRepresentation(G, T): GrpFP, Map -> Map, GrpPerm, Grp
            CosetTableToPermutationGroup(G, T) : GrpFP, Map -> GrpPerm
            Example GrpFP_1_CosetTable1 (H70E59)

      Coset Spaces: Construction
            CosetSpace(G, H: parameters) : GrpFP, GrpFP: -> GrpFPCos
            RightCosetSpace(G, H: parameters) : GrpFP, GrpFP -> GrpFPCos

      Coset Spaces: Elementary Operations
            H * g : GrpFP, GrpFPElt -> GrpFPCosElt
            C * g : GrpFPCosElt, GrpFPElt -> GrpFPCosElt
            C * D : GrpFPCosElt, GrpFPCosElt -> GrpFPCosElt
            g in C : GrpFPElt, GrpFPCosElt -> BoolElt
            g notin C : GrpFPElt, GrpFPCosElt -> BoolElt
            C1 eq C2 : GrpFPCosElt, GrpFPCosElt -> BoolElt
            C1 ne C2 : GrpFPCosElt, GrpFPCosElt -> BoolElt

      Accessing Information
            # V : GrpFPCos -> RngIntElt
            Action(V) : GrpFPCos -> Map
            <i, w> @ T : GrpFPCosElt, GrpFPElt, Map -> GrpFPElt
            ExplicitCoset(V, i) : GrpFPCos, RngIntElt -> GrpFPCosElt
            IndexedCoset(V, w) : GrpFPCos, GrpFPElt -> GrpFPCosElt
            IndexedCoset(V, C) : GrpFPCos, GrpFPCosElt -> GrpFPCosElt
            Group(V) : GrpFPCos -> GrpFP
            Subgroup(V) : GrpFPCos -> GrpFP
            IsComplete(V) : GrpFPCos -> BoolElt
            ExcludedConjugates(V) : GrpFPCos -> { GrpFPElt }
            Transversal(G, H) : GrpFP, GrpFP -> {@ GrpFPElt @}, Map
            Example GrpFP_1_CosetTable2 (H70E60)
            Example GrpFP_1_CosetSpace (H70E61)
            Example GrpFP_1_DerSub (H70E62)
            Example GrpFP_1_ExcludedConjugates (H70E63)

      Double Coset Spaces: Construction
            DoubleCoset(G, H, g, K ) : GrpFP, GrpFP, GrpFPElt, GrpFP -> GrpFPDcosElt
            DoubleCosets(G, H, K) : GrpFP, GrpFP, GrpFP -> { GrpFPDcosElt }
            Example GrpFP_1_DoubleCosets (H70E64)

      Coset Spaces: Selection of Cosets
            CosetsSatisfying(T, S: parameters) : Map, { GrpFPElt }: -> { GrpFPCosElt }
            Example GrpFP_1_CosetSatisfying (H70E65)

      Coset Spaces: Induced Homomorphism
            CosetAction(G, H) : Grp, Grp -> Hom(Grp), GrpPerm, Grp
            CosetAction(V) : GrpFPCos, Grp -> Hom(Grp), GrpPerm
            CosetImage(G, H) : Grp, Grp -> GrpPerm
            CosetImage(V) : GrpFPCos, Grp -> GrpPerm
            CosetKernel(G, H) : GrpFP, GrpFP -> GrpFP
            CosetKernel(V) : GrpFPCos -> GrpFP
            Example GrpFP_1_Co1 (H70E66)
            Example GrpFP_1_G23 (H70E67)

 
Simplification

      Reducing Generating Sets
            ReduceGenerators(G) : GrpFP -> GrpFP, Map

      Tietze Transformations
            Simplify(G: parameters) : GrpFP -> GrpFP, Map
            Example GrpFP_1_Simplify1 (H70E68)
            SimplifyLength(G: parameters) : GrpFP -> GrpFP, Map
            TietzeProcess(G: parameters) : GrpFP -> Process(Tietze)
            ShowOptions(~P : parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            SetOptions(~P : parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            Simplify(~P : parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            SimplifyLength(~P : parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            Eliminate(~P: parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            Search(~P: parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            SearchEqual(~P: parameters) : GrpFPTietzeProc ->
            Group(P) : GrpFPTietzeProc -> GrpFP, Map
            NumberOfGenerators(P) : GrpFPTietzeProc -> RngIntElt
            NumberOfRelations(P) : GrpFPTietzeProc -> RngIntElt
            PresentationLength(P) : GrpFPTietzeProc -> RngIntElt
            Example GrpFP_1_F276 (H70E69)
            Example GrpFP_1_ReduceGeneratingSet (H70E70)
            Example GrpFP_1_F29 (H70E71)
            Example GrpFP_1_L372 (H70E72)

 
Representation Theory
      GModulePrimes(G, A) : GrpFP, GrpFP -> SetMulti
      GModulePrimes(G, A, B) : GrpFP, GrpFP, GrpFP -> SetMulti
      GModule(G, A, p) : GrpFP, GrpFP, RngIntElt -> ModGrp, Map
      GModule(G, A, B, p) : GrpFP, GrpFP, GrpFP, RngIntElt -> ModGrp, Map
      Pullback(f, N) : Map, ModGrp -> GrpFP
      Example GrpFP_1_RepresentationTheory (H70E73)
      Example GrpFP_1_gmoduleprimes (H70E74)

 
Small Group Identification
      IdentifyGroup(G): GrpFP -> Tup
      Example GrpFP_1_IdentifyGroup (H70E75)

      Concrete Representations of Small Groups
            PermutationGroup(G) : GrpFP -> GrpPerm, GrpHom
            PCGroup(G) : GrpFP -> GrpPC, GrpHom

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Mon Dec 17 14:40:36 EST 2012