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FINITE SOLUBLE GROUPS

 
Acknowledgements
 
Introduction
      Power-Conjugate Presentations
 
Creation of a Group
      Construction Functions
      Definition by Presentation
      Possibly Inconsistent Presentations
 
Basic Group Properties
      Infrastructure
      Numerical Invariants
      Predicates
 
Homomorphisms
 
New Groups from Existing
 
Elements
      Definition of Elements
      Arithmetic Operations on Elements
      Properties of Elements
      Predicates for Elements
      Set Operations
 
Conjugacy
 
Subgroups
      Definition of Subgroups by Generators
      Membership and Coercion
      Inclusion and Equality
      Standard Subgroup Constructions
      Properties of Subgroups
      Predicates for Subgroups
      Hall π-Subgroups and Sylow Systems
      Conjugacy Classes of Subgroups
 
Quotient Groups
      Construction of Quotient Groups
      Abelian and p-Quotients
 
Normal Subgroups and Subgroup Series
      Characteristic Subgroups
      Subgroup Series
      Series for p-groups
      Normal Subgroups and Complements
 
Cosets
      Coset Tables and Transversals
      Action on a Coset Space
 
Automorphism Group
      General Soluble Group
            Lifting Algorithm
            Lifting from the Automorphism Group of a Sylow p-subgroup
      p-group
      Isomorphism and Standard Presentations
 
Generating p-groups
 
Representation Theory
 
Central Extensions
 
Transfer Between Group Categories
      Transfer to GrpPC
      Transfer from GrpPC
 
More About Presentations
      Conditioned Presentations
            Structure Operations
            Element Operations
      Special Presentations
      CompactPresentation
 
Optimizing Magma Code
      PowerGroup
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

      Power-Conjugate Presentations

 
Creation of a Group

      Construction Functions
            CyclicGroup(GrpPC, n) : Cat, RngIntElt -> GrpPC
            AbelianGroup(GrpPC, Q) : Cat, [RngIntElt] -> GrpPC
            DihedralGroup(GrpPC, n) : Cat, RngIntElt -> GrpPC
            ExtraSpecialGroup(GrpPC, p, n : parameters) : Cat, RngIntElt, RngIntElt -> GrpPC
            Example GrpPC_Standard (H63E1)

      Definition by Presentation
            PolycyclicGroup< x1, ..., xn | R : parameters > : List(Identifiers), List(GrpFPRel) -> GrpPC, Map
            quo< GrpPC : F | R : parameters > : GrpFP, List(GrpFPRel) -> GrpPC, Map
            Example GrpPC_PolycyclicGroup (H63E2)

      Possibly Inconsistent Presentations
            IsConsistent(G) : GrpPC -> BoolElt
            Example GrpPC_IsConsistent (H63E3)

 
Basic Group Properties

      Infrastructure
            G . i : GrpPC, RngIntElt -> GrpPCElt
            Generators(G) : GrpPC -> SetEnum
            NumberOfGenerators(G) : GrpPC -> RngIntElt
            PCGenerators(G) : GrpPC -> SetIndx
            NumberOfPCGenerators(G) : GrpPC -> RngIntElt
            PCPrimes(G) : GrpPC -> [RngIntElt]

      Numerical Invariants
            Order(G) : GrpPC -> RngIntElt
            FactoredOrder(G) : GrpPC -> [<RngIntElt, RngIntElt>]
            Exponent(G) : GrpPC -> RngIntElt

      Predicates
            IsAbelian(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsCyclic(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsElementaryAbelian(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsNilpotent(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsPerfect(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsSimple(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsSoluble(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsTrivial(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsSpecial(G) : GrpPC -> BoolElt
            IsExtraSpecial(G) : GrpPC -> BoolElt
            Example GrpPC_group-props (H63E4)

 
Homomorphisms
      hom< G -> H | L > : GrpPC, GrpPC, List -> Map
      IsHomomorphism(G, H, L) : GrpPC, GrpPC, SeqEnum -> BoolElt, Map
      IdentityHomomorphism(G) : GrpPC -> Map
      Kernel(f) : Map -> GrpPC
      Homomorphisms(G, H) : GrpPC, GrpPC -> SeqEnum
      Example GrpPC_pc_hom (H63E5)

 
New Groups from Existing
      DirectProduct(G, H) : GrpPC, GrpPC -> GrpPC, [Map], [Map]
      DirectProduct(Q) : [GrpPC] -> GrpPC, [ Map ], [ Map ]
      Extension(G, H, f) : GrpPC, GrpPC, [Map] -> GrpPC
      Extension(M, H) : ModGrp, GrpPC -> GrpPC
      Extension(G, H, f, t) : GrpPC, GrpPC, [Map], [GrpPCElt] -> GrpPC
      Extension(M, H, t) : ModGrp, GrpPC, [ModGrpElt] -> GrpPC
      IsExtension(G, H, f) : GrpPC, GrpPC, [Map] -> BoolElt, GrpPC
      WreathProduct(G, H) : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
      WreathProduct(G, H, f) : GrpPC, GrpPC, Map -> GrpPC
      Example GrpPC_extension (H63E6)
      Example GrpPC_cossey_hawkes (H63E7)

 
Elements

      Definition of Elements
            G ! Q : GrpPC, [RngIntElt] -> GrpPCElt
            ElementToSequence(x) : GrpPCElt -> [RngIntElt]
            Identity(G) : GrpPC -> GrpPCElt
            Example GrpPC_elt-definition (H63E8)

      Arithmetic Operations on Elements
            g * h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            g *:= h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            g ^ n: GrpPCElt, RngIntElt -> GrpPCElt
            g ^:= n: GrpPCElt, RngIntElt -> GrpPCElt
            g / h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            g /:= h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            g ^ h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            g ^:= h : GrpPCElt, GrpPCElt -> GrpPCElt
            (g1, ..., gn) : List(GrpPCElt) -> GrpPCElt

      Properties of Elements
            Order(x) : GrpPCElt -> RngIntElt
            Parent(x) : GrpPCElt -> GrpPC

      Predicates for Elements
            g eq h : GrpPCElt, GrpPCElt -> BoolElt
            g ne h : GrpPCElt, GrpPCElt -> BoolElt
            IsIdentity(g) : GrpPCElt -> BoolElt
            IsConjugate(G, g, h) : GrpPC, GrpPCElt, GrpPCElt -> BoolElt, GrpPCElt
            Example GrpPC_elt_predicates (H63E9)

      Set Operations
            NumberingMap(G) : GrpPC -> Map
            Random(G) : GrpPC -> GrpPCElt
            RandomProcess(G) : GrpPC -> Process
            Random(P) : Process -> GrpPCElt
            Representative(G) : GrpPC -> GrpPCElt
            Example GrpPC_set_ops (H63E10)
            Example GrpPC_Set (H63E11)

 
Conjugacy
      Class(H, g) : GrpPC, GrpPCElt -> { GrpPCElt }
      ConjugacyClasses(G) : GrpPC -> [ <RngIntElt, RngIntElt, GrpPCElt> ]
      ClassMap(G) : GrpPC -> Map
      ClassRepresentative(G, x) : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPCElt
      IsConjugate(G, g, h) : GrpPC, GrpPCElt, GrpPCElt -> BoolElt, GrpPCElt
      NumberOfClasses(G) : GrpPC -> RngIntElt
      PowerMap(G) : GrpPC -> Map
      Example GrpPC_class_map (H63E12)

 
Subgroups

      Definition of Subgroups by Generators
            sub<G | L> : GrpPC, List -> GrpPC, Map
            ncl<G | L> : GrpPC, List -> GrpPC, Map
            Example GrpPC_sub_creation (H63E13)

      Membership and Coercion
            g in G : GrpPCElt, GrpPC -> BoolElt
            g notin G : GrpPCElt, GrpPC -> BoolElt
            G ! g : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPCElt
            H ! g : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPCElt
            K ! g : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPCElt
            Example GrpPC_coercion (H63E14)

      Inclusion and Equality
            S subset G : { GrpPCElt } , GrpPC -> BoolElt
            S notsubset G : { GrpPCElt } , GrpPC -> BoolElt
            H subset G : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            H notsubset G : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            G eq H : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            G ne H : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            InclusionMap(G, H) : GrpPC, GrpPC -> Map

      Standard Subgroup Constructions
            H ^ g : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPC
            H meet K : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            H meet:= K : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            CommutatorSubgroup(G, H, K) : GrpPC, GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            Centralizer(G, g) : GrpPC, GrpPCElt -> GrpPC
            Centralizer(G, H) : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            Core(G, H) : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            H ^ G : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            Normalizer(G, H) : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            Example GrpPC_subgroup-constructions (H63E15)

      Properties of Subgroups
            Index(G, H) : GrpPC, GrpPC -> RngIntElt
            FactoredIndex(G, H) : GrpPC, GrpPC -> [<RngIntElt, RngIntElt>]

      Predicates for Subgroups
            IsCentral(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            IsConjugate(G, H, K) : GrpPC, GrpPC, GrpPC -> BoolElt, GrpPCElt
            IsMaximal(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            IsNormal(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            IsSelfNormalizing(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            IsSubnormal(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            Example GrpPC_sub-predicates (H63E16)

      Hall π-Subgroups and Sylow Systems
            ComplementBasis(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            HallSubgroup(G, S) : GrpPC, { RngIntElt } -> GrpPC
            pCore(G, S) : GrpPC, { RngIntElt } -> GrpPC
            SylowBasis(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            SylowSubgroup(G, p) : GrpPC, RngIntElt -> GrpPC
            SystemNormalizer(G) : GrpPC -> GrpPC
            Example GrpPC_Hall (H63E17)

      Conjugacy Classes of Subgroups
            SubgroupClasses(G) : GrpPC -> SeqEnum
            AbelianSubgroups(G) : GrpPC -> SeqEnum
            MaximalSubgroups(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            SubgroupLattice(G) : GrpPC -> SubGrpLat
            BurnsideMatrix(G) : GrpPC -> AlgMatElt
            DisplayBurnsideMatrix(G) : GrpPC ->
            Example GrpPC_SubgroupClasses (H63E18)

 
Quotient Groups

      Construction of Quotient Groups
            quo<G | L> : GrpPC, List -> GrpPC, Map
            G / N : GrpPC, GrpPC -> GrpPC
            Example GrpPC_pc_quotient (H63E19)

      Abelian and p-Quotients
            AbelianQuotient(G) : GrpPC -> GrpAb, Map
            AbelianQuotientInvariants(G) : GrpPC -> SeqEnum
            ElementaryAbelianQuotient(G, p) : GrpPC, RngIntElt -> GrpAb, Map
            pQuotient(G, p, c : parameters ) : GrpPC, RngIntElt, RngIntElt -> GrpPC, Map

 
Normal Subgroups and Subgroup Series

      Characteristic Subgroups
            Centre(G) : GrpPC -> GrpPC
            CommutatorSubgroup(G) : GrpPC -> GrpPC
            FittingSubgroup(G) : GrpPC -> GrpPC
            FrattiniSubgroup(G) : GrpPC -> GrpPC
            Hypercentre(G) : GrpPC -> GrpPC
            MinimalNormalSubgroups(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            pCore(G, S) : GrpPC, { RngIntElt } -> GrpPC
            Socle(G) : GrpPC -> GrpPC

      Subgroup Series
            AbelianBasis(G) : GrpPC -> [ GrpPCElt ], [ RngIntElt ]
            AbelianInvariants(G) : GrpPC -> [RngIntElt]
            ChiefSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            CompositionSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            CompositionFactors(G) : GrpPC -> SeqEnum
            CompositionSeries(G, i) : GrpPC, RngIntElt -> [GrpPC]
            DerivedSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            DerivedLength(G) : GrpPC -> RngIntElt
            ElementaryAbelianSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            ElementaryAbelianSeriesCanonical(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            LowerCentralSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            NilpotencyClass(G) : GrpPC -> RngIntElt
            pCentralSeries(G, p) : GrpPC, RngIntElt -> [GrpPC]
            SubnormalSeries(G, H) : GrpPC, GrpPC -> [GrpPC]
            UpperCentralSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            Example GrpPC_EAS (H63E20)

      Series for p-groups
            Agemo(G, i) : GrpPC, RngIntElt -> GrpPC
            Omega(G, i) : GrpPC, RngIntElt -> GrpPC
            JenningsSeries(G) : GrpPC -> [GrpPC]
            pClass(G) : GrpPC -> RngIntElt
            pRanks(G) : GrpPC-> [ RngIntElt ]

      Normal Subgroups and Complements
            NormalSubgroups(G) : GrpPC -> SeqEnum
            NormalLattice(G) : GrpPC -> SubGrpLat
            MinimalNormalSubgroup(G) : GrpPC -> GrpPC
            MinimalNormalSubgroup(G, N) : GrpPC -> GrpPC
            Complements(G, N) : GrpPC, GrpPC -> SeqEnum
            NormalComplements(G, N) : GrpPC, GrpPC -> SeqEnum
            NormalComplements(G, H, N) : GrpPC, GrpPC -> SeqEnum
            Example GrpPC_NormalComplements (H63E21)

 
Cosets

      Coset Tables and Transversals
            Transversal(G, H) : GrpPC, GrpPC -> {@ GrpPCElt @}, Map
            CosetTable(G, H) : GrpPC, GrpPC -> Map
            Transversal(G, H, K) : GrpPC, GrpPC, GrpPC -> {@ GrpPCElt @}, Map
            ShortCosets(p, H, G) : GrpPCElt, GrpPC, GrpPC -> [GrpPCElt]

      Action on a Coset Space
            CosetAction(G, H) : Grp, Grp -> Hom(Grp), GrpPerm, GrpPC
            CosetImage(G, H) : Grp, Grp -> GrpPerm
            CosetKernel(G, H) : Grp, Grp -> Grp

 
Automorphism Group

      General Soluble Group

            Lifting Algorithm
                  AutomorphismGroup(G): GrpPC -> GrpAuto
                  HasAttribute(A, "GenWeights") : GrpAuto, MonStgElt -> BoolElt, [ RngIntElt ]
                  HasAttribute(A, "WeightSubgroupOrders") : GrpAuto, MonStgElt -> BoolElt, [ RngIntElt ]
                  Example GrpPC_AutomorphismGroup (H63E22)

            Lifting from the Automorphism Group of a Sylow p-subgroup
                  AutomorphismGroupSolubleGroup(G: parameters): GrpPC -> GrpAuto
                  IsIsomorphicSolubleGroup(G, H: parameters) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt, Map
                  Example GrpPC_AutomorphismGroupSolubleGroup (H63E23)

      p-group
            AutomorphismGroup(G: parameters): GrpPC -> GrpAuto
            Example GrpPC_pAutomorphismGroup (H63E24)
            OrderAutomorphismGroupAbelianPGroup (A) : SeqEnum -> RngIntElt
            Example GrpPC_subgroupsabelianpgroups (H63E25)

      Isomorphism and Standard Presentations
            StandardPresentation(G): GrpPC -> GrpPC, Map
            IsIdenticalPresentation(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt
            IsIsomorphic(G, H) : GrpPC, GrpPC -> BoolElt, Map
            Example GrpPC_StandardPresentation (H63E26)

 
Generating p-groups
      GeneratepGroups (p, d, c : parameters) : RngIntElt, RngIntElt,RngIntElt -> [GrpPC], RngIntElt
      Descendants(G : parameters) : GrpPC -> [GrpPC], RngIntElt
      Example GrpPC_Generating_p_groups (H63E27)
      Example GrpPC_GeneratepGroups (H63E28)
      Example GrpPC_IsGood (H63E29)
      ClassTwo(p, d : parameters) : RngIntElt, RngIntElt -> SeqEnum
      Example GrpPC_ClassTwo (H63E30)

 
Representation Theory
      CharacterDegrees(G) : GrpPC -> [ Tup ]
      CharacterDegrees(G) : GrpFin -> [ Tup ]
      CharacterDegreesPGroup(G) : GrpFin -> [ RngIntElt ]
      CharacterTable(G: parameters) : GrpPC -> TabChtr
      CharacterTableConlon(G) : GrpPC -> [ AlgChtrElt ]
      GModule(G, M) : GrpPC, AlgMat -> ModAlg
      GModule(G, A) : GrpPC, GrpPC -> ModAlg, Map
      GModule(G, A, B) : GrpPC, GrpPC, GrpPC -> ModAlg, Map
      AbsolutelyIrreducibleRepresentationsSchur(G, k: parameters) : GrpPC, Rng -> List[Map]
      IrreducibleRepresentationsSchur(G, k: parameters) : GrpPC, Rng -> List[Map]
      Example GrpPC_Reps (H63E31)

 
Central Extensions
      ExtGenerators(G, U) : GrpPC, GrpPC -> [<AlgMatElt, RngIntElt>]
      HomGenerators(G, U) : GrpPC, GrpPC -> [<AlgMatElt, RngIntElt>]
      ElementSequence(G) : GrpPC -> SeqEnum
      RepresentativeCocycles(G, U, Ext, Hom) : GrpPC, GrpPC, [AlgMatElt], [AlgMatElt]-> [AlgMatElt]
      CentralExtension(G, U, A) : GrpPC, GrpPC, AlgMatElt -> GrpPC
      CentralExtensions(G, U, Q) : GrpPC, GrpPC, [AlgMatElt] -> [GrpPC]
      CentralExtensionProcess(G, U) : GrpPC, GrpPC -> Proc
      NextExtension(~P) : Rec -> GrpPC
      IsEmpty(P) : Rec -> BoolElt
      Example GrpPC_CentralExtension (H63E32)

 
Transfer Between Group Categories

      Transfer to GrpPC
            PCGroup(G) : GrpPerm -> GrpPC, Map
            pQuotient( F, p, c : parameters ) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt -> GrpPC, Map
            SolubleQuotient(G) : Grp -> GrpPC, Map
            Example GrpPC_pcgroup (H63E33)

      Transfer from GrpPC
            AbelianGroup(G) : GrpPC -> GrpAb, Map
            FPGroup(G) : GrpPC -> GrpFP, Map
            GPCGroup(G) : GrpPC -> GrpGPC, Map
            Example GrpPC_pc-to-perm (H63E34)

 
More About Presentations

      Conditioned Presentations

            Structure Operations
                  ConditionedGroup(G) : GrpPC -> GrpPC
                  IsConditioned(G) : GrpPC -> BoolElt

            Element Operations
                  LeadingTerm(x) : GrpPCElt -> GrpPCElt
                  LeadingGenerator(x) : GrpPCElt -> GrpPCElt
                  LeadingExponent(x) : GrpPCElt -> RngIntElt
                  Depth(x) : GrpPCElt -> RngIntElt
                  PCClass(x) : GrpPCElt -> RngIntElt

      Special Presentations
            SpecialPresentation(G) : GrpPC -> GrpPC
            SpecialWeights(G) : GrpPC -> [ <RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt> ]
            NilpotentLength(G) : GrpPC -> RngIntElt
            NilpotentBoundary(G,i) : GrpPC, RngIntElt -> RngIntElt
            MinorLength(G,i) : GrpPC, RngIntElt -> RngIntElt
            MinorBoundary(G,i,j) : GrpPC, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
            LayerLength(G,i,j) : GrpPC, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
            LayerBoundary(G,i,j,k) : GrpPC, RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
            Example GrpPC_SpecialPresentation (H63E35)

      CompactPresentation
            CompactPresentation(G) : GrpPC -> [RngIntElt]
            PCGroup(Q : parameters ) : [RngIntElt] -> GrpPC
            Example GrpPC_CompactPresentation (H63E36)

 
Optimizing Magma Code

      PowerGroup
            Example GrpPC_PowerGroupTwo (H63E37)

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Mon Dec 17 14:40:36 EST 2012