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MODULES OVER AN ALGEBRA

 
Acknowledgements
 
Introduction
 
Modules over a Matrix Algebra
      Construction of an A-Module
            General Constructions
            Constructions for K[G]-Modules
      Accessing Module Information
            The Underlying Vector Space
            The Algebra
      Standard Constructions
            Changing the Coefficient Ring
            Direct Sum
            Changing Basis
      Element Construction and Operations
            Construction of Module Elements
            Deconstruction of Module Elements
            Action of the Algebra on the Module
            Arithmetic with Module Elements
            Indexing
            Properties of Module Elements
      Submodules
            Construction
            Membership and Equality
            Operations on Submodules
      Quotient Modules
      Structure of a Module
            Reducibility
            Composition Series
            Socle Series
      Decomposability and Complements
      Lattice of Submodules
            Creating Lattices
            Operations on Lattices
            Operations on Lattice Elements
            Properties of Lattice Elements
      Homomorphisms
            Creating Homomorphisms
            Hom(M, N)
            Endo-- and Automorphisms
 
Modules over a General Algebra
      Introduction
      Construction of Algebra Modules
      The Action of an Algebra Element
      Related Structures of an Algebra Module
      Properties of an Algebra Module
      Creation of Algebra Modules from other Algebra Modules







DETAILS

 
Introduction

 
Modules over a Matrix Algebra

      Construction of an A-Module

            General Constructions
                  RModule(A) : AlgMat -> ModRng
                  RModule(Q) : [ MtrxS ] -> ModTupRng
                  Example ModAlg_CreateK6 (H89E1)

            Constructions for K[G]-Modules
                  GModule(G, Q) : Grp, [ MtrxS ] -> ModGrp
                  PermutationModule(G, K) : GrpPerm, Fld -> ModGrp

      Accessing Module Information

            The Underlying Vector Space
                  M . i : ModRng, RngIntElt -> ModElt
                  CoefficientRing(M) : ModRng -> Rng
                  Generators(M) : ModRng -> { ModRngElt }
                  Parent(u) : ModRngElt -> ModRng

            The Algebra
                  Action(M) : ModRng -> AlgMat
                  MatrixGroup(M) : ModGrp -> GrpMat
                  ActionGenerator(M, i) : ModRng, RngIntElt -> AlgMatElt
                  NumberOfActionGenerators(M) : ModRng -> RngIntElt
                  Group(M) : ModGrp -> Grp
                  Example ModAlg_Access (H89E2)

      Standard Constructions

            Changing the Coefficient Ring
                  ChangeRing(M, S) : ModRng, Rng -> ModRng, Map
                  ChangeRing(M, S, f) : ModRng, Rng, Map -> ModRng, Map

            Direct Sum
                  DirectSum(M, N) : ModRng, ModRng -> ModRng, Map, Map, Map, Map
                  DirectSum(Q) : [ ModRng ] -> ModRng, [ Map ], [ Map ]

            Changing Basis
                  M ^ T : ModRng, AlgMatElt -> ModRng

      Element Construction and Operations

            Construction of Module Elements
                  elt< M | a1, ..., an > : ModRng, List -> ModRngElt
                  M ! Q : ModRng, [RngElt] -> ModRngElt
                  Zero(M) : ModRng, RngIntElt -> ModRngElt
                  Random(M) : ModRng -> ModRngElt

            Deconstruction of Module Elements
                  ElementToSequence(u) : ModRngElt -> [RngElt]

            Action of the Algebra on the Module
                  u * a : ModRngElt, AlgElt -> ModRngElt
                  u * g : ModGrpElt, GrpElt -> ModGrpElt

            Arithmetic with Module Elements
                  u + v : ModRngElt, ModRngElt -> ModRngElt
                  - u : ModRngElt -> ModRngElt
                  u - v : ModRngElt, ModRngElt -> ModRngElt
                  k * u : RngElt, ModRngElt -> ModRngElt
                  u * k : ModRngElt, RngElt -> ModRngElt
                  u / k : ModRngElt, RngElt -> ModRngElt

            Indexing
                  u[i] : ModRngElt, RngIntElt -> RngElt
                  u[i] := x : ModRngElt, RngIntElt, RngElt -> ModRngElt

            Properties of Module Elements
                  IsZero(u) : ModRngElt -> BoolElt
                  Support(u) : ModRngElt -> { RngIntElt }

      Submodules

            Construction
                  sub<M | L> : ModRng, List -> ModRng
                  ImageWithBasis(X, M) : ModMatRngElt, ModRng -> ModRng
                  Morphism(M, N) : ModRng, ModRng -> ModMatRngElt
                  Example ModAlg_Submodule (H89E3)

            Membership and Equality
                  u in M : ModRngElt, ModRng -> BoolElt
                  N subset M : ModRng, ModRng -> BoolElt
                  N eq M : ModRng, ModRng -> BoolElt

            Operations on Submodules
                  M + N : ModRng, ModRng -> ModRng
                  M meet N : ModRng, ModRng -> ModRng

      Quotient Modules
            quo<M | L> : ModRng, List -> ModRng
            Morphism(M, N) : ModRng, ModRng -> ModMatRngElt
            Example ModAlg_QuotientModule (H89E4)

      Structure of a Module

            Reducibility
                  Meataxe(M) : ModRng -> ModRng, ModRng, AlgMatElt
                  IsIrreducible(M) : ModRng -> BoolElt, ModRng, ModRng
                  IsAbsolutelyIrreducible(M) : ModRng -> BoolElt, AlgMatElt, RngIntElt
                  AbsolutelyIrreducibleModule(M) : ModRng -> ModRng
                  Example ModAlg_Meataxe (H89E5)
                  MinimalField(M) : ModRng -> FldFin
                  IsPermutationModule(M) : ModRng -> BoolElt

            Composition Series
                  CompositionSeries(M) : ModRng -> [ ModRng ], [ ModRng ], AlgMatElt
                  CompositionFactors(M) : ModRng -> [ ModRng ]
                  Constituents(M) : ModRng -> [ ModRng ], [ RngIntElt ]
                  ConstituentsWithMultiplicities(M) : ModRng -> [ <ModRng, RngIntElt> ], [ RngIntElt ]
                  Example ModAlg_CompSeries (H89E6)

            Socle Series
                  IsSemisimple(M) : ModGrp -> BoolElt
                  MaximalSubmodules(M) : ModRng -> [ ModRng ], BoolElt
                  JacobsonRadical(M) : ModRng -> ModRng, Map
                  MinimalSubmodules(M) : ModRng -> [ ModRng ], BoolElt
                  MinimalSubmodules(M, F) : ModRng, ModRng -> [ ModRng ], BoolElt
                  MinimalSubmodule(M) : ModRng -> ModRng
                  Socle(M) : ModRng -> ModRng, Map
                  SocleSeries(M) : ModRng -> [ ModRng ], [ ModRng ], AlgMatElt
                  SocleFactors(M) : ModRng -> [ ModRng ]
                  Example ModAlg_Minimals (H89E7)

      Decomposability and Complements
            IsDecomposable(M) : ModRng -> BoolElt, ModRng, ModRng
            DirectSumDecomposition(M) : ModRng -> [ ModRng ]
            HasComplement(M, S) : ModGrp, ModGrp -> BoolElt, ModGrp
            Complements(M, S) : ModGrp, ModGrp -> [ ModGrp ]
            Example ModAlg_Decomposable (H89E8)

      Lattice of Submodules

            Creating Lattices
                  SubmoduleLattice(M) : ModRng -> SubModLat, BoolElt
                  SubmoduleLatticeAbort(M, n) : ModRng, RngIntElt -> BoolElt, SubModLat
                  SetVerbose("SubmoduleLattice", i) : MonStgElt, RngIntElt ->
                  Submodules(M) : ModRng -> [ModRng]
                  Example ModAlg_CreateLattice (H89E9)

            Operations on Lattices
                  # L : SubModLat -> RngIntElt
                  L ! i: SubModLat, RngIntElt -> SubModLatElt
                  L ! S: SubModLat, ModRng -> SubModLatElt
                  Bottom(L): SubModLat -> SubModLatElt
                  Random(L): SubModLat -> SubModLatElt
                  Top(L): SubModLat -> SubModLatElt

            Operations on Lattice Elements
                  IntegerRing() ! e : RngInt, SubModLatElt -> RngIntElt
                  e + f : SubModLatElt, SubModLatElt -> SubModLatElt
                  e meet f : SubModLatElt, SubModLatElt -> SubModLatElt
                  e eq f : SubModLatElt, SubModLatElt -> SubModLatElt
                  e subset f : SubModLatElt, SubModLatElt -> SubModLatElt
                  MaximalSubmodules(e) : SubModLatElt -> { SubModLatElt }
                  MinimalSupermodules(e) : SubModLatElt -> { SubModLatElt }
                  Module(e) : SubModLatElt -> ModRng

            Properties of Lattice Elements
                  Dimension(e) : SubModLatElt -> RngIntElt
                  JacobsonRadical(e) : SubModLatElt -> SubModLatElt
                  Morphism(e) : SubModLatElt -> ModMatRngElt
                  Example ModAlg_LatticeOps (H89E10)

      Homomorphisms

            Creating Homomorphisms
                  hom< M -> N | X > : ModRng, ModRng, ModMatElt -> Map
                  H ! f : ModMatRng, Map -> ModMatRngElt
                  IsModuleHomomorphism(X) : ModMatFldElt -> BoolElt

            Hom(M, N)
                  Hom(M, N) : ModRng, ModRng -> ModMatRng
                  AHom(M, N) : ModRng, ModRng -> ModMatRng
                  GHomOverCentralizingField(M, N) : ModGrp, ModGrp -> ModMatGrp
                  Example ModAlg_EndoRing (H89E11)
                  Example ModAlg_CreateHomGHom (H89E12)

            Endo-- and Automorphisms
                  EndomorphismAlgebra(M) : ModRng -> AlgMat
                  CentreOfEndomorphismRing(M) : ModRng -> AlgMat
                  AutomorphismGroup(M) : ModRng -> GrpMat
                  IsIsomorphic(M, N) : ModRng, ModRng -> BoolElt, AlgMatElt
                  Example ModAlg_EndoRing (H89E13)

 
Modules over a General Algebra

      Introduction

      Construction of Algebra Modules
            Module(A, m): Alg, Map[SetCart, ModRng] -> ModAlg
            Example ModAlg_AlgModCreate (H89E14)

      The Action of an Algebra Element
            a ^ v : AlgElt, ModAlgElt -> ModAlgElt
            v ^ a : ModAlgElt, AlgElt -> ModAlgElt
            ActionMatrix(M, a): ModAlg, AlgElt -> AlgMatElt
            Example ModAlg_Action (H89E15)

      Related Structures of an Algebra Module
            Algebra(M): ModAlg -> Alg
            CoefficientRing(M): ModAlg -> Fld
            Basis(M): ModAlg -> SeqEnum

      Properties of an Algebra Module
            IsLeftModule(M): ModAlg -> BoolElt
            IsRightModule(M): ModAlg -> BoolElt
            Dimension(M): ModAlg -> RngIntElt

      Creation of Algebra Modules from other Algebra Modules
            DirectSum(Q): SeqEnum -> ModAlg, SeqEnum, SeqEnum
            SubalgebraModule(B, M): Alg, ModAlg -> ModAlg
            ModuleWithBasis(Q): SeqEnum -> ModAlg
            Example ModAlg_OtherMod (H89E16)
            sub< M | S > : ModAlg, [ModAlgElt] -> ModAlg
            quo< M | S > : ModAlg, [ModAlgElt] -> ModAlg

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Version: V2.19 of Mon Dec 17 14:40:36 EST 2012