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GROUPS

 
Acknowledgements
 
Introduction
      The Categories of Finite Groups
 
Construction of Elements
      Construction of an Element
      Coercion
      Homomorphisms
      Arithmetic with Elements
 
Construction of a General Group
      The General Group Constructors
      Construction of Subgroups
      Construction of Quotient Groups
 
Standard Groups and Extensions
      Construction of a Standard Group
      Construction of Extensions
 
Transfer Functions Between Group Categories
 
Basic Operations
      Accessing Group Information
 
Operations on the Set of Elements
      Order and Index Functions
      Membership and Equality
      Set Operations
      Random Elements
      Action on a Coset Space
 
Standard Subgroup Constructions
      Abstract Group Predicates
 
Characteristic Subgroups and Normal Structure
      Characteristic Subgroups and Subgroup Series
      The Abstract Structure of a Group
 
Conjugacy Classes of Elements
 
Conjugacy Classes of Subgroups
      Conjugacy Classes of Subgroups
      The Poset of Subgroup Classes
            Creating the Poset of Subgroup Classes
            Operations on Subgroup Class Posets
            Operations on Poset Elements
            Class Information from a Conjugacy Class Poset
 
Cohomology
 
Characters and Representations
      Character Theory
      Representation Theory
 
Databases of Groups
 
Bibliography







DETAILS

 
Introduction

      The Categories of Finite Groups

 
Construction of Elements

      Construction of an Element
            elt< G | L > : Grp, List(Elt) -> GrpElt
            G ! Q : Grp, [ Elt ] -> GrpElt
            Identity(G) : Grp -> GrpElt

      Coercion
            G ! g : Grp, GrpElt -> GrpElt

      Homomorphisms
            hom< G -> H | L > : Grp, Grp -> Map
            hom< G -> H | x : -> e(x) > : Grp, Grp -> Map
            IdentityHomomorphism(G) : Grp -> Map
            Example Grp_Homomorphisms (H57E1)
            Example Grp_Homomorphisms-2 (H57E2)

      Arithmetic with Elements
            g * h : GrpElt, GrpElt -> GrpElt
            g ^ n : GrpElt, RngIntElt -> GrpElt
            g / h : GrpElt, GrpElt -> GrpElt
            g ^ h : GrpElt, GrpElt -> GrpElt
            (g, h) : GrpElt, GrpElt -> GrpElt
            (g1, ..., gr) : GrpElt, ..., GrpElt -> GrpElt
            g eq h : GrpElt, GrpElt -> BoolElt
            g ne h : GrpElt, GrpElt -> BoolElt
            IsId(g) : GrpElt -> BoolElt
            Order(g) : GrpElt -> RngIntElt
            Example Grp_Arithmetic (H57E3)

 
Construction of a General Group

      The General Group Constructors
            PermutationGroup< X | L > : Set, List -> GrpPerm, Hom
            Group< X | R > : List(Identifiers), List(GrpFPRel) -> GrpFP, Hom(Grp)
            Example Grp_GroupConstructors (H57E4)
            Example Grp_PolycyclicGroup (H57E5)

      Construction of Subgroups
            sub<G | L> : Grp, List -> Grp
            ncl<G | L> : Grp, List -> Grp
            Example Grp_Subgroup (H57E6)

      Construction of Quotient Groups
            quo<G | L> : Grp, List -> Grp, Map
            G / N : Grp, Grp -> Grp
            Example Grp_Quotient (H57E7)

 
Standard Groups and Extensions

      Construction of a Standard Group
            AbelianGroup(C, Q) : Cat, [ RngIntElt ] -> GrpFin
            AlternatingGroup(C, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFin
            CyclicGroup(C, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFin
            DihedralGroup(C, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFin
            DicyclicGroup(n) : RngIntElt -> GrpFP
            SymmetricGroup(C, n) : Cat, RngIntElt -> GrpFin
            ExtraSpecialGroup(C, p, n : parameters) : Cat, RngIntElt, RngIntElt -> GrpFin
            Example Grp_StandardGroups (H57E8)

      Construction of Extensions
            DirectProduct(G, H) : Grp, Grp -> Grp
            DirectProduct(Q) : [ Grp ] -> Grp
            SemidirectProduct(K, H, f: parameters) : Grp, Grp, Map -> Grp, Map, Map
            Example Grp_Extensions (H57E9)

 
Transfer Functions Between Group Categories
      pQuotient(F, p, c: parameters) : GrpFP, RngIntElt, RngIntElt -> GrpPC, Map
      CosetAction(G, H) : Grp, Grp -> Hom(Grp), GrpPerm, Grp
      CosetImage(G, H) : Grp, Grp -> GrpPerm
      CosetKernel(G, H) : Grp, Grp -> Grp
      GPCGroup(G) : Grp -> GrpGPC, Hom(Grp)
      PCGroup(G) : Grp -> GrpPC, Hom(Grp)
      FPGroup(G: parameters) : GrpPerm :-> GrpFP, Hom(Grp)
      Example Grp_CosetAction (H57E10)
      Example Grp_CosetAction-2 (H57E11)
      Example Grp_FPGroup (H57E12)

 
Basic Operations

      Accessing Group Information
            G . i : Grp, RngIntElt -> GrpElt
            Generators(G) : Grp -> { GrpFinElt }
            NumberOfGenerators(G) : Grp -> RngIntElt
            Generic(G) : Grp -> Grp
            Parent(g) : GrpElt -> Grp
            Example Grp_Generators (H57E13)
            Orbit(G, M, x) : Grp, Any, Any -> Any
            OrbitClosure(G, M, S) : Grp, Any, Any -> Any

 
Operations on the Set of Elements

      Order and Index Functions
            Order(G) : GrpFin -> RngIntElt
            FactoredOrder(G) : GrpFin -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
            Index(G, H) : GrpFin, GrpFin -> RngIntElt
            FactoredIndex(G, H) : GrpFin, GrpFin -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
            Example Grp_Order (H57E14)

      Membership and Equality
            g in G : GrpFinElt, GrpFin -> BoolElt
            g notin G : GrpFinElt, GrpFin -> BoolElt
            S subset G : { GrpFinElt }, GrpFin -> BoolElt
            S notsubset G : { GrpFinElt }, GrpFin -> BoolElt
            H subset G : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            H notsubset G : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            H eq G : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            H ne G : GrpFin, GrpFin -> BoolElt

      Set Operations
            NumberingMap(G) : GrpFin -> Map
            Representative(G) : GrpFin -> GrpFinElt
            Example Grp_SetOperations (H57E15)

      Random Elements
            Random(G: parameters) : GrpFin -> GrpFinElt
            Example Grp_RandomOperations (H57E16)
            RandomProcess(G) : GrpFin -> Process
            Random(P) : Process -> GrpFinElt
            InitialiseProspector(G:parameters): GrpMat ->
            Prospector(G, f:parameters): Grp, UserProgram -> BoolElt, GrpElt, GrpSLPElt
            Example Grp_RandomProspector (H57E17)

      Action on a Coset Space
            CosetTable(G, H) : GrpFin, GrpFin -> Map
            [Future release] CosetTable(G, f) : GrpFin, Hom(GrpFin) -> Hom(GrpFin)
            Transversal(G, H) : Grp, Grp -> {@ GrpElt @}, Map
            CosetAction(G, H) : Grp, Grp -> Hom(Grp), GrpPerm, Grp
            CosetImage(G, H) : Grp, Grp -> GrpPerm
            CosetKernel(G, H) : Grp, Grp -> Grp

 
Standard Subgroup Constructions
      H ^ g : GrpFin, GrpFinElt -> GrpFin
      H meet K : GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      CommutatorSubgroup(G, H, K) : GrpFin, GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      Centralizer(G, g) : GrpFin, GrpFinElt -> GrpFin
      Centralizer(G, H) : GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      Core(G, H) : GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      H ^ G : GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      Normalizer(G, H) : GrpFin, GrpFin -> GrpFin
      pCore(G, p) : GrpFin, RngIntElt -> GrpFin
      SylowSubgroup(G, p) : GrpFin, RngIntElt -> GrpFin

      Abstract Group Predicates
            IsAbelian(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsCyclic(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsElementaryAbelian(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsCentral(G, H) : GrpFin -> BoolElt
            IsConjugate(G, g, h) : GrpFin, GrpFinElt, GrpFinElt -> BoolElt, GrpFinElt
            IsConjugate(G, H, K) : GrpFin, GrpFin, GrpFin -> BoolElt, GrpFinElt
            IsExtraSpecial(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsMaximal(G, H) : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            IsNilpotent(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsNormal(G, H) : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            IsPerfect(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsSelfNormalizing(G, H) : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            IsSimple(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsSoluble(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsSpecial(G) : GrpFin -> BoolElt
            IsSubnormal(G, H) : GrpFin, GrpFin -> BoolElt
            IsTrivial(G) : Grp -> BoolElt

 
Characteristic Subgroups and Normal Structure

      Characteristic Subgroups and Subgroup Series
            Centre(G) : GrpFin -> GrpFin
            Hypercentre(G) : GrpFin -> GrpFin
            DerivedLength(G) : GrpFin -> RngIntElt
            DerivedSeries(G) : GrpFin -> [ GrpFin ]
            DerivedSubgroup(G) : GrpFin -> GrpFin
            FittingSubgroup(G) : GrpFin -> GrpFin
            FrattiniSubgroup(G) : GrpFin -> GrpFin
            JenningsSeries(G) : GrpFin -> [ GrpFin ]
            LowerCentralSeries(G) : GrpFin -> [ GrpFin ]
            NilpotencyClass(G) : GrpFin -> RngIntElt
            H ^ G : GrpFin -> GrpFin
            NormalLattice(G) : GrpFin -> NormalLattice
            NormalSubgroups(G) : GrpFin -> [ Rec ]
            pCentralSeries(G, p) : GrpFin, RngIntElt -> [ GrpFin ]
            Radical(G) : GrpFin -> GrpFin
            SolubleResidual(G) : GrpFin -> GrpFin
            SubnormalSeries(G, H) : GrpFin, GrpFin -> [ GrpFin ]
            UpperCentralSeries(G) : GrpFin -> [ GrpFin ]

      The Abstract Structure of a Group
            CompositionFactors(G) : : GrpFin -> [ <RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt> ]
            AbelianInvariants(G) : GrpFin -> [ RngIntElt ]
            AbelianBasis(G) : GrpFin -> [ GrpFinElt ], [ RngIntElt ]

 
Conjugacy Classes of Elements
      Class(H, x) : GrpFin, GrpFinElt -> { GrpFinElt }
      ClassMap(G: parameters) : GrpFin -> Map
      ConjugacyClasses(G: parameters) : GrpFin -> [ <RngIntElt, RngIntElt, GrpFinElt> ]
      ClassRepresentative(G, x) : GrpFin, GrpFinElt -> GrpFinElt
      IsConjugate(G, g, h) : GrpFin, GrpFinElt, GrpFinElt -> BoolElt, GrpFinElt
      IsConjugate(G, H, K) : GrpFin, GrpFin, GrpFin -> BoolElt, GrpFinElt
      Exponent(G) : GrpFin -> RngIntElt
      NumberOfClasses(G) : GrpFin -> RngIntElt
      PowerMap(G) : GrpFin -> Map
      Example Grp_Classes (H57E18)

 
Conjugacy Classes of Subgroups

      Conjugacy Classes of Subgroups
            SubgroupClasses(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            ElementaryAbelianSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            AbelianSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            CyclicSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            NilpotentSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            SolubleSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            NonsolvableSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            PerfectSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            SimpleSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            RegularSubgroups(G: parameters) : GrpFin -> [ rec< Grp, RngIntElt, RngIntElt, GrpFP> ]
            SetVerbose("SubgroupLattice", i) : MonStgElt, RngIntElt ->
            Class(G, H) : GrpFin, GrpFin -> { GrpFin }
            Example Grp_Subgroups (H57E19)

      The Poset of Subgroup Classes

            Creating the Poset of Subgroup Classes
                  SubgroupLattice(G) : GrpFin -> SubGrpLat
                  Example Grp_CreateSubgroupPoset (H57E20)

            Operations on Subgroup Class Posets
                  # L : SubGrpLat -> RngIntElt
                  L ! i: SubGrpLat, RngIntElt -> SubGrpLatElt
                  L ! H: SubGrpLat, GrpFin -> SubGrpLatElt
                  Bottom(L): SubGrpLat -> SubGrpLatElt
                  Top(L): SubGrpLat -> SubGrpLatElt
                  Random(L): SubGrpLat -> SubGrpLatElt
                  Example Grp_LatticeOperations (H57E21)

            Operations on Poset Elements
                  IntegerRing() ! e : SubGrpLatElt -> RngIntElt
                  e eq f : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> SubGrpLatElt
                  e ge f : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> BoolElt
                  e ge f : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> BoolElt
                  e le f : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> BoolElt
                  e lt f : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> BoolElt

            Class Information from a Conjugacy Class Poset
                  Group(e) : SubGrpLatElt -> GrpFin
                  Centraliser(e, f) : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> SubGrpLatElt
                  Normaliser(e, f) : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> SubGrpLatElt
                  Length(e) : SubGrpLatElt -> RngIntElt
                  Order(e) : SubGrpLatElt -> RngIntElt
                  MaximalSubgroups(e) : SubGrpLatElt -> { SubGrpLatElt }
                  MinimalOvergroups(e) : SubGrpLatElt -> { SubGrpLatElt }
                  NumberOfInclusions(e, f) : SubGrpLatElt, SubGrpLatElt -> RngIntElt

 
Cohomology
      pMultiplicator(G, p) : GrpFin, RngIntElt -> [ RngIntElt ]
      pCover(G, F, p) : GrpPerm, GrpFP, RngIntElt -> GrpFinFP
      CohomologicalDimension(G, M, i) : GrpFin, ModRng, RngIntElt -> RngIntElt
      ExtensionProcess(G, M, F) : GrpPerm, ModRng, GrpFP -> GrpFPExtProc
      Extension(P, Q) : Process -> GrpFinFP
      SplitExtension(G, M, F) : GrpPerm, ModRng, GrpFP -> GrpFP

 
Characters and Representations

      Character Theory
            CharacterDegrees(G) : GrpPC -> [ Tup ]
            CharacterTable(G) : GrpFin -> TabChtr
            PermutationCharacter(G) : GrpPerm -> AlgChtrElt
            PermutationCharacter(G, H) : GrpFin, GrpFin -> AlgChtrElt

      Representation Theory
            GModule(G, S) : GrpFin, AlgMat -> ModGrpFin
            GModule(G, A, B) : GrpFin, GrpFin, GrpFin -> ModGrpFin, Map
            PermutationModule(G, H, R) : GrpFin, GrpFin, Rng -> ModGrpFin
            PermutationModule(G, R) : GrpPerm, Rng -> ModGrpFin
            Example Grp_Modules (H57E22)
            Example Grp_Modules-2 (H57E23)

 
Databases of Groups

 
Bibliography

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Version: V2.19 of Mon Dec 17 14:40:36 EST 2012